ФРАКТАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Соколов  Илья

11  класс,  МБОУ  «Спасская  СОШ»,  Вологодский  муниципальный  район

Митенева  Светлана  Феодосьевна

научный  руководитель,  учитель  математики  МБОУ  «Спасская  СОШ»  ВМР

Введение

Бенуа  Мандельброт:  «Почему  геометрию  часто  называют  холодной  и  сухой?  Одна  из  причин  заключается  в  том,  что  она  неспособна  достаточно  точно  описать  форму  облака,  горы,  дерева  или  берега  моря.  Облака  —  это  не  сферы,  линии  берега  —  это  не  окружности,  и  кора  не  является  гладкой,  а  молния  не  распространяется  по  прямой.  Природа  демонстрирует  нам  не  просто  более  высокую  степень,  а  совсем  другой  уровень  сложности.  Число  различных  масштабов  длин  в  структурах  всегда  бесконечно». 

1.  Из  истории  создания  фракталов

Фрактальная  геометрия  возникла  в  XIX  веке.  Кантор  с  помощью  простой  повторяющейся  процедуры  превратил  линию  в  набор  несвязанных  точек,  при  этом  была  получена  так  называемая  Пыль  Кантора  [2]. 

Рисунок  1.  Пыль  Кантора

Он  брал  линию  и  удалял  из  нее  центральную  треть,  после  этого  повторял  то  же  самое  с  оставшимися  отрезками.  Накопление  данных  о  таких  странных  объектах  шло  вплоть  до  XX  века. 

Так  было,  пока  за  них  не  взялся  Бенуа  Р.  Мандельброт  (Benoit  Mandelbrot),  математик  из  Исследовательского  центра  им.  Томаса  Уотстона  при  IBM.  Он  является  отцом  современной  фрактальной  геометрии  и  именно  он  предложил  термин  «фрактал»  для  описания  объектов,  структура  которых  повторяется  при  переходе  к  более  мелким  масштабам.  Работая  в  IBM,  Бенуа  Р.  Мандельброт  изучал  шумы  в  электронных  схемах,  которые  невозможно  было  описать  с  помощью  статистики.  Со  временем,  сопоставив  некоторые  факты,  он  пришел  к  открытию  фрактальной  геометрии  -  нового  направления  в  математике.

2.   Определение фрактала

Слово  “fractal”  ввел  Бенуа  Р.  Мандельброт  от  латинского  слова  “fractus”,  что  означает  разбитый,  т.  е.  поделенный  на  части  [2].  Одним  из  определений  фрактала  является  следующее:  фрактал  —  это  геометрическая  фигура,  состоящая  из  частей  и  которая  может  быть  поделена  на  части,  каждая  из  которых  будет  представлять  уменьшенную  копию  целого.  То  есть  фрактал  —  это  такой  объект,  для  которого  не  важно  с  каким  усилением  его  рассматривать  в  увеличительное  стекло,  но  при  всех  его  увеличениях  структура  остается  одной  и  той  же.  Структуры  большие  по  масштабу  полностью  повторяют  структуры  меньшие  по  масштабу. 

Одним  из  основных  свойств  фракталов  является  самоподобие.  Размерность  объекта  показывает  по  какому  закону  растет  его  внутренняя  область.  Аналогичным  образом  возрастает  «объем»  фрактала  с  ростом  его  размеров,  но  его  размерность  —  величина  не  целая,  а  дробная.  Поэтому  граница  фрактальной  фигуры  не  линия:  при  большом  увеличении  становится  видно,  что  она  размыта  и  вся  состоит  из  спиралей  и  завитков,  повторяющих  в  малом  масштабе  саму  фигуру. 

3.  Типы  фракталов

Фракталы  делятся  на  геометрические  фракталы,  алгебраические  фракталы,  системы  итерируемых  функций,  стохастические  фракталы

3.1.             Геометрические фракталы

История  создания  фракталов  началась  с  геометрических  фракталов.  Этот  тип  фракталов  получается  путем  простых  геометрических  построений.  При  построении  данных  видов  фракталов  поступают  так:  берется  набор  отрезков,  на  основании  которых  будет  строиться  фрактал.  Затем  к  ним  применяется  набор  правил,  который  преобразует  их  в  некоторую  геометрическую  фигуру.  И  потом  к  каждой  части  этой  фигуры  применяют  этот  же  набор  правил.  С  каждым  шагом  фигура  становится  все  сложнее  и  после  бесконечного  количества  преобразований  получается  геометрический  фрактал.

          Из  геометрических  фракталов  очень  интересным  и  знаменитым  является  снежинка  Коха,  которая  строится  на  основе  равностороннего  треугольника.  Каждая  линия  треугольника  заменяется  на  4  линии  длиной  в  1/3  исходной  _/\_.  Таким  образом,  длина  кривой  увеличивается  на  треть.  Если  сделать  бесконечное  число  таких  шагов,  то  получится  фрактал  —  снежинка  Коха  бесконечной  длины  [2].

Рисунок  2.  Снежинка  Коха

Рисунок  3.  Треугольник  Серпинского

Для  построения  треугольника  Серпинского  из  центра  треугольника  мысленно  вырезается  кусок  треугольной  формы,  который  упирается  своими  вершинами  в  середины  сторон  исходного  треугольника.  Для  трех  образовавшихся  треугольников  повторятся  эта  же  процедура  и  так  до  бесконечности.  При  этом  любой  из  образовавшихся  треугольников  представляет  точную  копию  целого. 

3.2.             Алгебраические  фракталы

Вторая  группа  фракталов  —  алгебраические  фракталы.  Они  получили  свое  название  за  то,  что  строятся  на  основе  алгебраических  формул.  Существует  несколько  методов  получения  алгебраических  фракталов.  Один  из  них  представляет  собой  многократный  расчет  функции  Zn+1=f(Zn),  где  Z  —  комплексное  число,  а  f  —  некоторая  функция.  Для  построения  фрактала  необходимы  комплексные  числа.  Комплексное  число  -  это  число  вида  a+bi,  состоящее  из  действительной  и  мнимой  частей.  Комплексное  число  можно  изобразить  точкой  на  координатной  плоскости,  у  которой  действительная  часть  a  —  это  координата  Х,  а  коэффициент  b  при  мнимой  части  -  это  координата  Y.

Рисунок  4.Множество  Жюлиа

Рисунок  5.Множество  Мандельброта

4.  Применение  фракталов

Фракталы  нашли  широкое  применение  в  различных  областях  науки  и  техники.  В  компьютерной  графике  фракталы  применяются  для  построения  изображений  природных  объектов,  таких,  как  поверхности  морей,  деревья,  кусты,  горные  ландшафты  и  т.  д.  [1]  С  использованием  фракталов  могут  строиться  вполне  реалистичные  изображения:  например,  фракталы  часто  используются  при  создании  облаков,  береговых  линий,  снега,  кустов,  деревьев  и  др.). 

Поэтому  применять  фрактальные  изображения  можно  в  самых  разных  сферах:  создание  обычных  текстур  и  фоновых  изображений,  фантастических  ландшафтов  для  компьютерных  игр  и  книжных  иллюстраций. 

Создаются  подобные  фрактальные  изображения  путем  математических  расчетов,  но  базовым  элементом  фрактальной  графики  (в  отличие  от  векторной  графики)  является  математическая  формула.  Это  означает,  что  в  памяти  компьютера  никаких  объектов  не  сохраняется  и  изображение  строится  только  на  основе  уравнений.

Рисунок  6.  Природные  фракталы

Рисунок  7.  Фрактальные  снежинки

В  физике  фракталы  возникают  при  моделировании  нелинейных  процессов,  таких,  как  пламя,  турбулентное  течение  жидкости,  облака,  сложные  процессы  диффузии-адсорбции  и  т.  п.  При  моделировании  пористых  материалов  (в  нефтехимии)  также  используются  фракталы.  Для  описания  систем  внутренних  органов  и  моделирования  популяций  они  применяются  в  биологии.

В  последнее  время  растет  популярность  фракталов  у  трейдеров  и  используется  для  анализа  состояния  биржевых  рынков.  Фракталы  рынка  являются  одним  из  индикаторов  в  торговой  системе  Била  Вильямса.  Считается,  что  он  же  впервые  и  ввел  это  название  в  трейдинг.

Рисунок  8.  Котировки  акций  на  Нью-Йоркской  бирже

Таким  образом,  исследования,  связанные  с  фракталами,  меняют  многое  из  привычных  представлений  об  окружающем  нас  мире,  о  самых  обычных  предметах,  таких  как  облака,  реки,  деревья,  горы,  травы  и  др.  [1].

Заключение

Что  превнес  компьютер  в  нашу  жизнь  нового,  неведомого  до  него?  Главное  —  он  позволил  увидеть  и  полюбить  фракталы,  которые  завораживают  своей  таинственностью,  проявляясь  в  различных  областях:  механике,  биологии,  географии,  метеорологии,  философии  и  даже  истории.

Список  литературы:

1.Азевич  А.И.  Фракталы:  геометрия  и  искусство  //  Математика  в  школе  —  2005.  —  №  4.  —  С.  76—78.

2.Саква  Д.Ю.  Фракталы  вокруг  нас  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://www.codenet.ru/progr/fract/Fractals-Around/  (дата  обращения  20.12.2012).