СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

METHODS FOR SOLVING SQUARE EQUATIONS

Zolotareva Ekaterina Aleksandrovna

student, Sterlitamak branch of Bashkir State University.

Russia, Sterlitamak

Voistinova Guzel Khamitovna

associate Professor, candidate ped. sciences, associate professor Sterlitamak branch of Bashkir State University.

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются квадратные уравнения и  способы их  решения.

ABSTRACT

This article discusses quadratic equations and how to solve them.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

Keywords: equations, quadratic equations, methods for solving quadratic equations.

Уравнение – так называют равенство, из которого находят неизвестную величину, обозначенную, как правило, буквой латинского алфавита.[1]

Существует большое множество уравнений: алгебраические, квадратные, линейные,  кубические, уравнения четвертой степени, уравнения с параметрами и так далее.

Остановимся на квадратных уравнениях и рассмотрим несколько способов решения.

В школе исследуются формулы корней квадратных уравнений, которые позволяют решить любое квадратное уравнение. Но есть и иные методы решения квадратных уравнений, дающие возможность довольно быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Рассмотрим самые простейшие способы решения квадратных уравнений.

1 способ. Разложение левой части на множители

Задание 1. Решить уравнение: 8х² + 10х +3 = 0

Решение. Разложим левую часть на множители:

8х2 + 10х +3 = 8х2 + 4х +6х +3 = 4х(2х + 1) +3(2х + 1) = (2х + 1)(4х +3).

Таким образом, мы получили уравнение:

(2х + 1)(4х +3)

Произведение множителей равно нулю тогда, когда один из его множителей будет равен нулю.

2х + 1= 0 или 4х +3=0

2x=-1              4x=-3

x=-1/2             x=-3/4

х=-0,5             х=-0,75

Ответ: -0,5; -0,75.

2 способ. Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Задание 2. Решить уравнение: ax² + bx + c=0

ax² + bx = -c 

(2ax)²  + 4abx = - 4a c

(2ax) ² + 4abx + b² = b² - 4ac

(2ax + b) ² = b² - 4ac

2ax + b = ± √(b² - 4ac)

2ax = - b ± √(b² - 4ac)

x = (-b ± √‾(b² - 4ac)) / 2a

3 способ. Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x² + px + q = 0» говорит, что верны следующие равенства:

x1 + x2 = −p

x1 · x2 = q

где «x1» и «x2» – корни этого уравнения.

Для наиболее простого запоминания  формулы Виета, можно использовать мнемонические правила:

«Коэффициент «p» – означает «нехороший»,  поэтому он берется со знаком минус».

То есть для решения нам следует  найти два числа, произведение которых будет  равно свободному члену, а сумма будет равна второму коэффициенту с противоположным знаком.

Задание 3. Решить уравнение: x ² + 4x − 5 = 0

Решение. Находим два числа, произведение которых будет равно свободному члену, то есть -5 , а сумма будет равна -4. Такими числами будут -5 и 1.

Ответ: x1=-5, x2=1

4 способ. Метод выделения полного квадрат

Задание 4. Решить уравнение: х²- 10х - 11 = 0

Решение. Выделим в левой части полный квадрат:  

х²-10х - 11 = х² -10 х +5² - 5² - 11 = (х ² - 10 х +5²)-36= (х-5)² - 6²

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х -5)² - 6² =0,

(x-5-6)(x-5+6)= 0,

(x-11)(x+1)=0

х -11=0   или    х + 1 = 0

х₁ = 11              х₂ = -1

Ответ: 11; -1.

Рассмотренные способы решения помогут находить разные способы решения квадратных уравнений и выделять среди них рациональные. что может помочь сберечь время при решении контрольных работ и заданий по математике на ЕГЭ.

Список литературы:

1. Учебник Математика 5 класс И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович (2013 год). — 272 c.
2. Бекаревич А. Б. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.