О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

PROOF OF THEOREMS AND PROBLEM SOLVING

Voistinova Guzei Hamitovna,

candidate of Chemical Sciences, Associate Professor faculty Mathematics and information technology Sterlitamak branch of Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

Iskandarova Aigul Halilovna

the student of 4 course, faculty Mathematics and information technology Sterlitamak branch of Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной статье говорится о доказательстве теорем и решении задач. Приведены конкретные теоремы и их доказательство.

ABSTRACT

This article is about proving theorems and solving problems. Concrete theorems and their proof are given.

Ключевые слова: доказательство, наука, математика, задача, решение, четырехугольник.

Keywords: proof, science, mathematics, problem, solution, quadrangle.

Доказательство теорем и решение задачи в математике являются его неотъемлемой частью. В отличие от других наук, эмпирические доказательства недопустимы в математике: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между различными объектами и теоремой; тем не менее все эти средства ученые используют только при поиске доказательств, сами доказательства не могут быть основаны на таких средствах.

Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень детальными в расчёте на то, что обученный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательств гарантирована тем, что они могут быть представлены в виде записи на формальном языке (именно это происходит при компьютерном тестировании доказательств).

В основе обучения решению математических задач лежит не только знание теоретического материала, действия по его применению, но и умение рассуждать, грамотно строить математическую речь. Не слыша «образца» рассуждения от учителя, школьники вряд ли смогут построить собственное математическое рассуждение. В связи с этим учитель должен сам уметь грамотно строить собственное рассуждение. Сущность объяснения состоит в том, что оно должно вскрывать мыслительный процесс и передавать способ нахождения пути к новым знаниям, а, значит, и сами знания. Теоремы школьного курса математики, их прописанная в тексте учебника запись доказательство теоремы требуют осуществления молодым педагогом перестройки текста учебника в текст объяснения. Начинающий учитель математики всегда опирается на текст доказательства теоремы в школьном учебнике. Очевидно, что текст объяснения доказательства отличается от текста учебника, поскольку последний лаконичен и как правило построен на синтетическом рассуждении в виде готового доказательства, не вскрывая путей к его нахождению.

Рассмотрим, например, теорему, которая представлена в учебнике Атанасян Л.С., Бутузова В.Ф.  Кадомцева С.Б. [1, с. 32] «Если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться.

Рассмотрим теорему: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида А⇒В (если А, то В) можно сформулировать предложение А⇒В (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «Если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида А⇒В (если А, то В) можно сформулировать предложение  (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «Если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность:  ( А⇒В) ⇒ ().

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы А⇒В и В⇒А – взаимообратные, а А⇒В и  – взаимопротивоположные.

Методика преподавания математике накоплен богатый опыт решения математических и логических задач, на практике разработаны и опробованы многие методики и методики обучения. Поэтому учитель может выбрать эффективный набор методов обучения и методик для конкретной ситуации в классе. При этом он учитывает особенности своего стиля работы. Учитель может использовать предложенные методические рекомендации как в процессе решения задач обязательного курса геометрии основной школы, так и для индивидуальной, факультативной и выборной внеклассной работы.

Список литературы:

1. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных организаций// Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 5-е изд. М.: Просвещение, 2015 ‒ 383 с.
2. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. А.В. Погорелов. − 2-е изд. − М.: Просвещение, 2014. ‒ 240 с.
3. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна ‒ решение разные: Геометрические задачи: кн. для учащихся.  − М.: Просвещение, 2000.  ̶  224 с.
4. В.А. Гусев, Теория и методика обучения математике: психолого-педагогические основы. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.  ̶  456 с.