ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ КУРСУ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы о значимости комплексных чисел в системе чисел, а также о недостатках и преимуществах исторического, геометрического и формально-логического подходов при введении понятия «комплексные числа» при  изучении алгебры и начал математического анализа в старших классах естественно-математического профиля.

Ключевые слова: комплексные числа, методические подходы, исторический подход, геометрический поход, формально-логический подход.

Понятие числа пронизывает все содержание  школьного курса математики. Тему «Комплексные числа», которая логично завершает систему чисел, неоднократно включали в школьный курс, но со временем исключали. На данный момент ее изучают в 10-11 профильных классах и элективных курсах.  Тема «Введение понятия комплексных чисел при обучении учащихся старших классов естественно-математического профиля курсу алгебры и началам математического анализа»  является актуальной, поскольку комплексные числа являются сложными для понимания учащихся, так как эта единица является «мнимой, воображаемой»,  а первые уроки, которые должны ознакомить с этим понятием, очень важны.

Цель статьи проанализировать методические подходы при введении  понятия «комплексные числа» на уроках алгебры и начала математического анализа.

Задачи статьи:

-исследовать три подхода при введении понятий о комплексных числах;

-обозначить их преимущества и недостатки для формирования понимания учащимися данной темы.

Т.А. Зентиева исследовала особенности математического мышления старшеклассников, определила трудности, с которыми они сталкиваются, и подтверждает, что тема «Комплексные числа» важна для их развития и их математической культуры [1]. М.В. Литвиненко, А.И. Мельникова отмечают, что мнения учителей о необходимости изучения данной темы разделились, и приводят ряд доказательств о ее пользе, кроме того, разработали систему занятий, которые покажут практическую значимость теории комплексных чисел [2]. Н.А. Данилова проанализировала, в какой последовательности раскрывается материал о комплексных числах в учебниках по алгебре и началам математического анализа и пособиях для факультативных занятий разных авторов [3].

Тема «Комплексные числа» открывает для старшеклассников мир высшей математики с новой стороны, показывая, что в этой науке тоже можно творчески развиваться, решая практические задачи.

К основным причинам, по которым необходимо изучать комплексные числа, можно отнести следующие:

1. Комплексные числа необходимы для того, чтобы решать задачи для применения в  технике, электротехнике, аэродинамике, кибернетике, самолетостроении, естествознании и т.д.
2. Есть такие действия с действительными числами, которые нельзя выполнить, а комплексные числа решают эту проблему с помощью геометрических построений.
3. Введение понятий о комплексных числах демонстрируют диалектическое развитие математических понятий.

Анализ учебников и различных учебных пособий, методических комплексов показывает, что авторы используют разные подходы к введению понятия «комплексное число»: исторический, геометрический, формально-логический.

Согласно ФГОС среднего (полного) общего образования учащиеся должны иметь представление об исторических факторах становления математики как науки. Поэтому многие педагоги начинают изучение комплексных чисел с истории их возникновения, т.е. используют исторический подход.

 Понятие  «комплексное число» появилось благодаря решению решением квадратных уравнений, а именно:  Д. Кардано, решая некоторые кубические уравнения, пришел к выводу, что они уравнения будут иметь 3 действительных корня  и решаются, если ввести «несуществующие числа» - квадратные радикалы из отрицательных чисел. Он  ввел для этих чисел условное обозначение: a+b. А. Жирар,  формулируя  «основную теорему алгебры», опирался на комплексные числа, а  Дж. Валлис (Уоллис) интерпретировал  это понятие с геометрической точки зрения. Около ста лет никто не пытался воспользоваться данными знаниями. Но в 1777г.  Л. Эйлер понял, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать не выходя за рамки комплексных чисел. Он предложил ввести символ «i» для обозначения мнимой единицы. К. Гаусс доказал теорию Л.Эйлера,  обосновал учение так,  как принято в современной науке. Он вывел формулу: a+bi, где a,b- действительные числа, i- мнимое. Позже ученые установили, что после построения поля комплексных чисел понятие числа дальнейшего расширения не допускает.

Некоторые педагоги начинают занятие именно с проблемной ситуации, с которой столкнулся К.Гаусс: решить уравнение=-1,где i-. А потом уже рассказывают историю возникновения понятия «комплексные числа» или предлагают изучить ее самостоятельно. Недостатком данного похода является то, что непонятен смысл записи a+bi , что  подразумевается под сложением и умножением между символами. А преимущество в том, что действия с комплексными числами выполняются как с многочленами.

При геометрическом подходе рассмотрение нового материала начинается с введения вещественных базисных векторов на плоскости комплексных чисел, и точка данной плоскости обозначается как a+bi, вводится понятие вектора, с началом в т. О – точке начала координат и концом в точке с координатами (a,b), потом вводятся понятия сложения и умножения векторов на плоскости. Понятие мнимого числа появляется при умножении i*i=-1: комплексно-сопряженные числа рассматриваются как отражение относительно действительной оси комплексной плоскости.

При этом подходе ученикам легче понять, что комплексные числа нельзя упорядочить и сравнивать, а при историческом - это сделать сложно.

При формально-логическом (аксиоматическом) подходе рассматриваются первичные термины, операции и аксиомы теории комплексных чисел. Его называют комплексным подходом, поскольку он состоит из нескольких этапов и включает в себя предыдущие подходы, но главное – даются аксиомы комплексных чисел, которые не противоречат аксиомам действительных.

Первым этапов в аксиоматическом подходе является мотивация введения новых чисел: педагог определяет сам начинать  с исторических сведений или проблемной ситуации К.Гаусса. Далее вводится новый учебный материал и понятия: z - комплексное число-  упорядоченная пара двух действительных чисел, которую обозначают z=(a,b), a,bϵR. Это понятие легко усваивается учениками, потому что они знают упорядоченные пары точек плоскости. Вводятся новые обозначения: действительной частью комплексного числа является a=Re z, ,а  мнимой частью: b=Im z; множеством комплексных чисел: С={z:z=(a,b), a,bϵR}.Эти понятия позволяют легко ввести изображение комплексных чисел на плоскости.

Далее благодаря равенству: (a,b)= (c, d)  - два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части- учащимся становится известно, что на множестве комплексных чисел С не вводятся отношения больше и меньше, а следовательно, комплексное число нельзя сравнить с нулем, оно не бывает ни положительным, ни отрицательным.

После этого можно вводить операции над комплексными числами: сложение и вычитание, умножение, сопряжение, деление, введение в степень и т.д.

Благодаря  комплексным числам  появились методы математического анализа -  «теория функций комплексного переменного» и «операционное исчисление». Они  позволяют решать сложнейшие математические задачи.

Таким образом, можно сказать, что комплексные числа являются важным разделом алгебры и начал математического анализа, который завершает систему чисел и позволяет решать задачи практического значения. Для введения понятия «комплексные числа» педагоги используют следующие подходы: исторический, геометрический или формально-логический. Каждый из них имеет преимущества и недостатки, но формально-логический подход позволяет решать больше проблем с начальным понимание и представлением комплексных чисел.

Список литературы:

1. Зентиева Т. А. Комплексные числа в курсе математики средних учебных заведений // Некоторые вопросы анализа, алгебры геометрии и математического образования. – 2016. – № 4. – С. 81-82
2. Литвиненко М. В., Мельникова А. И. Некоторые вопросы преподавания темы «Комплексные числа» в школе // Физико-математическое  и естественное образование: наука и школа. – 2018. – С. 120-123.
3. Боженова Л. И., Капитонов Д. В. Введение понятия комплексных чисел при обучении учащихся классов естественно-математического профиля курсу алгебры и началам математического анализа // Проблемы и перспективы физико-математического и технического образования. – 2014. – С. 84-95.