ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ

Эволюция понятия числа происходила долгим путем. Так математики Древней Греции относили к «существующим» числам только натуральные. Со временем формировалось понятие о безграничном множестве натуральных числах.

В III веке Архимедом был сформирован принцип обозначений прям до такого существенного числа как  [1, с. 47]. Также широкое применение вместе с натуральными числами получили и дроби. Необходимость в дробных числах стала при решении такого вида уравнения: ax=b. Как известно, дроби уже применялись в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте за 2 тысячелетия до н.э. [2, с. 8]. Необходимо отметить, что в те времена весьма долго считали, что результаты расчетов выражаются всегда в натуральных числах или в отношении этих натуральных числах, т.е. дроби.

Древнегреческий мыслитель Пифагор в своих учениях отмечал, что «... элементы чисел являются составляющими всех вещей, а весь мир в общем представляется гармонией и числом» [1, с. 47].  Однако открытие одного из учеников пифагорской школы нанесло существенный удар по этому мнению. Им было доказано, что диагональ, проведенная в квадрате несоизмерима со стороной. Его доказательство давало возможность сделать вывод, что недостаточно ни натуральных чисел, ни дробей для того, чтобы записать значение диагонали квадрата, у которого сторона равна единице. Следует отметить, что с этого утверждения начался новый веток в развитии теоретической математики, т.е. невозможно только опытным путем без использования абстрактного рассуждения определить существование несоизмеримых значений.  

Следующим важнейшим этапом расширения понятия о числе выделяют появление отрицательных чисел. Так, в математике, чтобы у каждого уравнения вида a + x = b были корни только из положительных чисел явилось недостаточным, и за 2 века до н.э. китайские математики ввели отрицательные числа. В III веке в своих вычислениях отрицательные числа использовал математик Древней Греции – Диофант, которому уже были известны правила действий с ними. В VII веке индийские математики глубже изучили отрицательные числа и сравнивали их с долгом. В России отрицательные числа в экономическом смысле называли убыточными [7, с. 10]. Введение этих чисел позволило в едином образе описать изменение величин.

В VIII веке было установлено, что 2 значения (отрицательное и положительное) имеет квадратный корень положительного числа, а также, что нельзя извлечь квадратный корень отрицательного числа, т.е. не существует такого числа x, чтобы неравенство x² + 1 = 0 [1, с. 48].  Следовательно, решением уравнений били только положительные числа.

Отрицательные числа не относили к целостному математическому объекту из-за невыполнения правила пропорции, т.е. если левая часть пропорции является отношением меньшего к большему, тогда и правая часть должна также являться отношением меньшего к большему [6, с. 3]. Однако это не выполняется в пропорции . Также количество должно было быть что-то, а ни меньше чем ничего. Такое суждение продолжалось до эпохи Ренессанса.

В XVI веке у математиков, изучавших кубические уравнения, появилась необходимость изучить способ извлечения квадратного корня отрицательного числа. Решение кубических уравнений такого вида   в формуле квадратные и кубические корни:

Эта формула успешно применима, в случае если уравнение содержит один действительный корень , а вот если уравнение содержит три действительных корня , тогда мы получаем квадратный корень отрицательного числа, что делает невозможным определение корня уравнения.

В связи с чем итальянским математиком Д. Кардано было предложено использовать числа «новой природы». Д. Кардано отмечает, что у данной системы отсутствует решение в множестве действительных чисел, но решение получается при   однако необходимо условиться, что действовать над выражениями такого типа по правилам обычной алгебры, считая, что  [4, С. 145]. Поэтому принято считать открытием комплексных чисел 1545 г. Такие величины он называл «чисто (софистически) отрицательными», пологая, что они бесполезны, стремясь не использовать их, т.к. с их помощью невозможно выразить результат измерения величины, а также изменение такой величины.

В 1572 г. итальянский математик Р. Бомбелли публикует книгу «Алгебра», в которой раскрывает первые принципы арифметических операций с отрицательными числами,  вплоть до определения корней кубических уравнений при извлечении квадратного корня отрицательного числа. Р. Бомбелли указывает, что т.к. слагаемые взаимно сопряженные, то квадратные корни отрицательного числа взаимно уничтожаются. Так же предполагал, что возможно найти отношение равенства, произведение и сумму чисел «новой природы». Однако Р. Бомбелли не видел смысла в комплексных числах кроме как при решении вспомогательной конструкции. В дальнейшем комплексные числа использовались в разных вопросах алгебры, однако практического применения им пока не нашлось.

Французский математик Рене Декарт в 1637 г. в своем труде «Геометрия» вводит для таких чисел «новой природы» понятие «мнимые числа» [3, с. 85]. Он говорил, что нет такой величины, которая была бы равной этим «мнимым числам».

Следует отметить, что математики с XVI века и до начала XIX века к комплексным числам относились с явным предубеждением и недоверием. Они называли их «мнимыми», «вымышленными», «несуществующими», «появившиеся от избыточного мудрствования» [2, с. 8]. Г. Лейбниц говорил, что эти числа «чудесное и изящное убежище божественного духа», а  – символ потустороннего мира.

Многие математики того периода делали попытки объяснить комплексные числа на прямой линии и применяли к ним те же понятия, как ко времени или температуре, т.е. где не требуется плоскостное изображение [4, с. 145].

В XVI веке Л. Эйлер, используя первую букву латинского слово «imaginarius» – «воображаемый», «мнимый», в математику вводит символ «i», где i² = –1 [2, с. 8].

На протяжении XVII века математики рассуждали об арифметической природе «мнимых чисел», а также предпринимали попытки показать их геометрическое обоснование. В начале XVIII века была создана общая теория корней n-ых степеней из отрицательных комплексных чисел, а со временем из любых «мнимых чисел». Она была основана в 1707 г. на формуле англичанина А. Муавра: . Эта формула также позволяла вывести формулы для синусов и косинусов кратных дуг.

Следует также отметить, что Л. Эйлер в 1748 г. вывел формулу , в дальнейшем получившая его имя. Формула Эйлера связывала воедино тригонометрическую функцию с показательной. С помощью формулы Эйлера возможно возвести число «e» в какую угодно комплексную степень. Также с помощью формулы Эйлера можно находить cos и sin от «мнимого числа», вычислять логарифмы комплексных чисел, т.е. формировать теорию функций комплексного переменного. Однако до него эту формулу записал английский математик Р. Котес. Появление этой формулы позволяло:

- во-первых, доказать периодичность экспоненциальной функции;

- во-вторых, определить логарифмы «мнимых чисел».

Уже в конце XVIII века Ж. Лагранж отмечает, что математический анализ «мнимые величины» не затрудняют. С помощью комплексных чисел научились строить вычисления линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Необходимо отметить, что на протяжении XVIII века благодаря комплексным числам стало возможным решение значительного количества задач, в том числе и практических, но еще никто из математиков структурно не сформировал обоснование теории комплексных чисел. Так П. Лапсал полагал, что ответы, которые мы помучаем благодаря комплексным числам лишь наводит на цель действительной истины, подтвердить которую невозможно  без прямого доказательства.

Более остро теорию о «мнимых числа» развивал немецкий математик К. Гаусс, которым он дал название «комплексные числа». От латинского слова «complexus» – «сочетание», «связь», «совокупность» чего-то в единое целое [1, с. 48].  К. Гаусс дал комплексным числам геометрическое толкование, которое позволило преодолеть значительные сложности в их понимании. Следует отметить, что до него геометрическое толкование описывает датский ученый К. Веселя и французский ученый Ж. Аргана, однако К. Гаусс дает более полное определение комплексных чисел и их применение в математике.

В начале XIX века комплексные числа было предложено записывать  точкой  на координатной плоскости. Позднее установили, что корректнее не самой точкой   изображать число, а идущим в данную точка от начала координат вектором . Исходя из этого понимания, вычитание и сложение комплексных чисел сопоставимы с операциями над векторами. Вектор  также можно задать не только лишь его координатами , но и длиной  и образованным им с положительным направлением оси абсцисс углом. Так ,  и при этом  имеет вид – тригонометрическая форма комплексного числа. Число  – модуль комплексного числа  и обозначают . Число  – аргумент  и обозначается . Используя формулу Эйлера мы можем записать число  в виде  – показательная форма комплексного числа.

Можно сказать, что только после появления геометрического изображения комплексных чисел с помощью векторов и точек на плоскости, получилось возможным приводить к комплексным числам и к их уравнениям значительное число задач естествознания, в особенности аэродинамики, гидродинамики, теории упругости и прочности, электротехники, а также картографии и геодезии. Следует отметить, что с этого этапа существования комплексных чисел было общепринятым, и они имели такую же реальную сущность, как и действительные числа. С эволюцией науки и техники было все яснее, что без комплексных чисел невозможно обойтись в большом количестве практических дел.

В XIX веке О. Коши, Г. Риман и К. Вейерштрасс на основе комплексных чисел формируют новую дисциплину в математике – теорию функций комплексного числа, которая является весьма важной в современной математике [4, с. 145].

После создания теории комплексных чисел перед учеными стал вопрос о возможности существования «гиперкомплексных» чисел, т.е. чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Вид такой системы , где сформулировал У. Гамильтон, который дал им название «кватернионами». Однако, хотя действие над «кватернионами» подобны правилам обычной алгебры, но при их умножении не выполняется свойство коммутативности.

Значительный вклад в применении теории функций комплексного переменного внесли советские и российские ученые: Р.И. Мусхелишвили изучал ее применение к теории упругости, М.А. Лаврентьев и М.В. Келдыш – к гидродинамике и аэродинамике, В.С. Владимиров и Н.Н. Боголюбов – к проблемам квантовой теории поля.  В настоящее врем трудно приставить области в механике или физике, где бы не использовались комплексные числа [5, с. 285].

Необходимо подчеркнуть, что комплексные числа имеют не только весьма познавательное, но и практическое значение. Поэтому их изучение старшеклассниками в школьном курсе математики весьма актуально.

Список литературы:

1. Авдеева А.А., Росляков И.Н., Рослякова Л.И. История возникновения комплексных чисел и их влияние на развитие математики // Молодежь и XXI век – 2016 [Текст]: материалы VI Международной молодежной молодежной научной конференции (25-26 февраля 2016 года), в 4-х томах, Том 4. – Курск: Юго-Зап. гос. ун-т., ЗАО «Университетская книга», 2016. – С. 47-49.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX – X кл. [Текст] : пособие для учителей. М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
3. Декарт Р. Геометрия Перевод, примечания и статья А.П. Юшкевича. Москва-Ленинград: ГОНТИ, 1938. – 296 с.
4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст] : для сред. и ст. шк. Возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с.
5. Синкевич Г.И. История понятия числа и непрерывности в математическом анализе XVII–XIX вв.: монография. – СПб.: СПб. гос. архит. – строит. ун-т., 2016. – 312 c.
6. Синкевич Г.И. История геометрических представлений комплексных чисел // История науки и техники.  – 2017 – №4. – С. 15-30. 
7. Эйлер Л. Универсальная арифметика г. Леонгарда Эйлера. Переведенная с немецкого подлинника студентами Петром Иноходцовым и Иваном Юдиным. – Т. 1. Санкт Петербург: Императорская Академия наук, 1768. – 376 c.