ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Дифференциальные неравенства широко используются в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1,2].В данной работе покажем применение дифференциальных неравенств, впервые рассмотренных в работах С.А.Чаплыгина

        Рассмотрим задачу Коши вида:

                                                                                (1)

                                                                                   (2)

где   определена в области 

.

Теорема 1.

        Пусть функция   определена и непрерывна по совокупности переменных в области  ,а следовательно существует M,что , и удовлетворяет там условию Липшица по переменной

,

Тогда задача (1),(2) допускает единственное решение, определённое на   ,где

          При больших M,например, если рассматривается уравнение вида :

(сингулярно возмущённая задача),где -малый параметр, то

и, следовательно ,I достаточно малый отрезок ,т.к. промежуток существования решения (1) ,(2) 

       Приведённую теорему можно считать локальной. Если в области      отказаться от ограничений на y т.е. рассматривать область  то ограничена на I можно снять.

Теорема 2.

        Пусть в (1)   определена и непрерывна , по совокупности переменных, в  и удовлетворяет там условию Липшица по переменной y.Тогда задача (1),(2) имеет единственное решение.

        Очевидно, эта теорема уже не является локальной, но класс функций  удовлетворяющих условиям теоремы, достаточно узкий.

        Возникающие тут сложности можно обойти, используя дифференциальные неравенства.

Теорема 3.

       Пусть существует решение y(x) задачи (1),(2), и существует функция z(x),что

тогда справедливо неравенство

Доказательство проведём методом от противного. При x=0 из (3) имеем (2),т.е. (3) выполняется. Пусть (3) нарушится при Тогда имеем ,а кривые  пересекаются, или касаются.

       Тогда

а это противоречит  ).Ч.т.д.

       Определение: функцию  непрерывную вместе со своей производной на [0,a] ,будем называть нижним (верхним) решением задачи (1),(2),если выполняется неравенство

Из предыдущей теоремы следует, что

Теорема 4.

        Пусть для задачи (1),(2) существует , причем Функция  непрерывная по совокупности аргументов удовлетворяет условию Липшица по y:

,

где ,. Тогда задача Коши (1),(2) имеет единственное решение y(x),такое что

        Доказательство

Функцию   продолжим так, чтобы, оставаясь непрерывной, удовлетворяла  условию Липшица в полосе

,

и рассмотрим вместо (1),(2) задачу

Введём функцию h(x,y) по формуле :

Убедимся, что h(x,y) удовлетворяет условию Липшица:

а) при

b) при совершенно аналогично получаем также L₂=1;

c) при  рассматривается функция  для которой условие Липшица выполняется по условию с константой L.

       Итак, функция  удовлетворяет условию Липшица с ,а следовательно задача (4),(5) имеет единственное решение. Полученное решение  .Тогда, для этих y(x) наша функция  ,и,следовательно,решение задачи (4),(5) является решением задачи (1),(2).Тем самым, полученное решение во всей полосе  

Список литературы:

1. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.-Ленинград: Государственное издательство Москва,1950.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
   
   -7-е изд.-М. Издательство Моск.ун-та,1984.
3. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов.-5-е изд.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.