НЕПРЕРЫВНАЯ, НО НЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ

Дифференциальное исчисление сложилось как самостоятельная дисциплина во 2-й половине 17 века под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница, в которых они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Дифференциальное исчисление основывается на таких фундаментальных понятиях, как функция, предел, дифференцируемость, непрерывность. Эти понятия приняли современный вид в ходе развития дифференциального и интегрального исчислений. Основные идеи и понятия дифференциального исчисления связаны с изучением функций в малом, т. е. в малых окрестностях отдельных точек, для чего требуется создание математического аппарата для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки области их определения близко к поведению линейной функции.

Определение 1 [1]: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия :

1) Функция y = f(x) определена в точке , т.е. ∈ D(f);

2) Существует

3) .

Определение 2 [1]:Функция y = f(x) называется непрерывной в точкеx₀, если  ∀ε>0  ∃δ>0: ∀x|x− x_0| <δ⇒|f(x)− f (x₀)| <ε

Так как |x − x_{0 |}=Δx -приращение аргумента, а |0f (x)− f (x₀)|=Δy -приращение функции в точке x₀ то  функция y = f (x) непрерывна в точке x₀, если для ∀ε>0∃δ>0: |Δx| <δ⇒|Δy| <ε т.е. Δy → 0при Δx→ 0.

Определение 3 [1]:Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

.

Определение 4[1]: Функция y = f (x), непрерывная во всех точках множества Х, называется непрерывной на этом множестве.

Пример непрерывной функции, не имеющей производной: в одной точке

Дана функция:

f(х) =    Исследуем поведение f(х) в окрестности  = 0.

Здесь f(х) ⟶f(0) = 0 при х⟶0. Т.е. функция непрерывна в точке  = 0.

Рассмотрим  = .  Предел не существует, так как

 = 1≠ = -1.   Итак, функция f(х) = ∣x∣ не имеет производной в точке х = 0, хотя непрерывна в этой точке .

Пример непрерывной функции, не имеющей производной: в двух точках

Дана функция:

f (x) =      Исследуем на непрерывность точку x = 0

1) f(0) = tg0 = 0 – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

 =  = 0

 =  = tg0 = 0

3)  = f(x) = 0 – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке. Таким образом, функция y = f(x) непрерывна в точке x = 0 по определению непрерывности функции в точке.

Исследуем на непрерывность точку x =

1) f– функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

 =  = tg = 1

 =  = 1

3)  – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.  Таким образом, функция y = f(x) непрерывна в точке x =  по определению непрерывности функции в точке.

Список литературы:

1. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II [Текст] / Г.М. Фихтенгольц - М., Наука, 1970- 800с.
2. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа т.I / Г.М. Фихтенгольц - М., Наука, 1968- 441с.
3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Электронный ресурс] // Режим доступа: https://studfiles.net/preview/5808192/  (дата обращения 05.03.2019)