РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОДАРЕННЫХ ШКОЛЬНИКОВ НА ЗАНЯТИЯХ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

При обучении математике в развитии математических способностей основная роль в старших классах отводится математическим задачам. В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Математические задачи являются эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии математических способностей учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Именно поэтому для решения задач отводится половина учебного времени на уроках математики. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в развитии математических способностей учащихся. Обязательным условием правильной организации учебной деятельности является постановка перед школьниками учебной задачи.

Одним из основных вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнений. Уравнения встречаются как в самой математике, так и при решении различных задач в физике, химии, экономике и других дисциплинах. В 11 классе обучающиеся знакомятся с дифференциальными уравнениями.

Изучение дифференциальных уравнений позволяет развивать математические способности обучающихся, такие как: способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики, гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, способности, необходимые для хранения математической информации. Но на изучение дифференциальных уравнений в школьном курсе отводится до 6 часов [3; 4], что недостаточно для полноценного изучения данного раздела. Компенсировать малое количество часов по данному разделу можно проведением занятий внеурочной деятельности для одарённых школьников на курсе по выбору «Дифференциальные уравнения».

Приведём пример задач, которые можно использоваться для формирования каждой из этих способностей:

1. Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов

Задача. Решить дифференциальные уравнения методом Лагранжа

Сделать выводы о сути метода. Можно ли его применять для линейных уравнений высших порядков? Опишите процесс решения ЛНДУ любого порядка методом Лагранжа.

2. Способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики

В данной способности в большой степени относится способность к математическому моделированию условий задач:

Рисунок 1. Задача процесса выравнивания

Рисунок 2. Задача процесса выравнивания с использованием уравнения теплового баланса

3. Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности

Эта математическая способность выражается в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, в многообразии аспектов подходов к решению задач, в легкости перестройки сложившихся схем мышления и систем действий.

Для развития гибкости мыслительных процессов в обучении можно использовать последовательное обучение задачам, которые усложняются в зависимости от формулировки. В такой последовательности должны встречаться задачи [2], в которых используемый метод уже не пригоден и возникает необходимость применять другой метод.

Рисунок 3. Задача электрической цепи с постоянным ЭДС

Рисунок 4. Задача электрической цепи с переменный ЭДС

4. Способности, необходимые для хранения математической информации

Для развития данной способности уместно использовать комплекс задач, в котором встречаются дифференциальные уравнения, решаемые всевозможными методами.

Указать вид дифференциального уравнения и решить его:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Приведём пример занятия, в котором используются данные задачи.

Тема занятия: Расчёт силы тока в замкнутой цепи.

Цель деятельности учителя: формировать умение выводить уравнения зависимости силы тока по времени в замкнутой цепи.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Сценарий урока

1. Актуализация знаний

-На прошлом уроке мы с вами изучили уравнение процесса выравнивания

-Как записывается его решение? ()

-Сегодня оно нам понадобится для решения одной задачи, усложнив которую, данной формулы будет недостаточно и понадобится новый метод.

2. Постановка задачи

-Порой нам приходится слышать о связи математики с изучением электротехники. Покажем, как с помощью математики можно создать модель для изучения электрической цепи. Какие характеристики замкнутой цепи вы можете назвать? (Сила тока, ЭДС, сопротивление, индуктивность)

-Для начала рассмотрим случай с постоянной ЭДС. Тогда задача будет звучать как:

Пример 1. Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с постоянной электродвижущей силой , активным сопротивлением  и катушкой с индуктивностью  (рис. 5)?

Рисунок 5. Цепь с постоянным ЭДС

Решение

1) Сперва стоит вспомнить, что ЭДС в цепи расчитывается, как сумма напряжений на активном участке и на катушке:

-Эти напряжения, в свою очередь, связаны зависимостью:

-Отсюда получаем уравнение с неизвестной  и её производной:

2) Выразим  и, вынеся за скобку , заметим, что получится уравнение процесса выравнивания

-Как мы знаем, такое уравнение решается по формуле для

Где  – это начальная сила тока.

3) Закон изменения силы тока

-Но это лишь частный случай, когда ЭДС у нас есть постоянная величина. В ходе применения генераторов переменного тока будет получать синусоидальная ЭДС. Тогда задача будет звучать так:

Пример 2. Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с синусоидальной электродвижущей силой , активным сопротивлением  и катушкой с индуктивностью  (рис.6)? Известно, что в начальный момент времени сила тока равнялась нулю.

Рисунок 6. Цепь с переменным ЭДС

Решение. Уравнение запишется в виде

-Является ли правая часть константой? Можем ли мы применить формулу процесса выравнивания?(нет)

-Данное уравнения входит в большой блок важных уравнений. Рассмотрим его в общем виде

-Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. В университете вас научат решать его методом Лагранжа. Его доказательство грамоздко, поэтому дам вам простой алгоритм решения таких уравнений:

-Пусть  – первообразная для

-Тогда . Видим левую часть уравнения в скобках.  где  - первообразная для . Значит

а) Найти  для

б) Найти  для

в) записать

3. Решение задач

-Решим данным методом уравнение

а)

б)

в)

-Теперь самостоятельно примените метод для решения задачи с цепью.

-Приведём к виду  где  – постоянные величины.

а)

б)

в)

4. Рефлексия

-С каким приложением дифференциальных уравнений вы сегодня познакомились? (приложением в электрической цепи)

-Какие величины находили в цепи? (силу тока)

-С каким новым видом уравнений познакомились? (линейные дифференциальные уравнения первого порядка)

-Каких этапов мы придерживались при решении задач? (Составление модели; Решение модели; Ответ на задачу)

Так мы видим, что дифференциальные уравнения можно использовать для формирования математических способностей школьников на внеурочной деятельности, для углубленного изучения старшеклассниками курса Алгебры и начал анализа в школе.

Список литературы:

1. Абрамов, А. М. Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс [Текст] / А. М. Абрамов, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев и др. – М.: Просвещение, 1980. – 191 с.
2. Виленкин, Н. Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) / Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 312 с.
3. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников / В. А. Крутецкий. Под редакцией Н. И. Чуприковой. – М.: «Институт практической психологии», 1998. – 416 с.
4. Никольский, С. М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 464 с.