ДЕФОРМАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ ТИМОШЕНКО

Аннотация

В данной статье получена система дифференциальных уравнений деформации стержневого элемента с учетом геометрической нелинейности, а также жесткости на сдвиг. На основе принципа наименьшего действия был представлен конечный вид разрешающих уравнений деформированного состояния прямолинейного стержня. Полученные зависимости могут быть использованы для автоматизированного расчета стержневых систем любой сложности с помощью современных программных комплексов. В статье также было произведено сравнение теории Тимошенко и обычной модели Бернулли-Эйлера, которая применяется в том числе для проведения поверочных расчетов обследуемых конструкций.

Введение

На сегодняшний день кроме модели Бернулли-Эйлера и Тимошенко существует множество других моделей стержней, и у каждой есть свои недостатки. В модели стержня Кирхгофа пренебрегают податливостью стержня на растяжение и сдвиг [1, 3, 5–7, 10]. Стержень Коссера–Тимошенко, в котором учитываются жесткости на изгиб, на сдвиг и на растяжение [2,8-9], в практических целях может быть использован только в программных комплексах.

Модель Тимошенко дает более точные результаты нахождения напряженно-деформированного состояния стержневых систем с большой площадью поперечного сечения и поэтому должна быть использована при проектировании особо важных сооружений. Геометрическая нелинейность играет значительную роль для конструкций, находящихся в аварийном состоянии.

Для того чтобы получить необходимые выражения для функций перемещений и угла поворота можно воспользоваться принципом наименьшего действия, приравняв к нулю вариацию энергии деформации стержня.

Постановка задачи

Рассмотрим плоскую задачу: прямолинейный стержень, ось X совпадает с осью балки, Закрепление стержня – произвольно. Требуется получить дифференциальные уравнения изгиба стержня, учитывая деформацию сдвига и нелинейную составляющую продольной деформации.

Дано:

 – изгибная жесткость,  – жесткость на растяжение-сжатие,  – сдвиговая жесткость,  – длина стержня.

Решение задачи

Энергия деформации балки:

где  – угол поворота сечения балки,  – вертикальное перемещение,  – горизонтальное перемещение.

Вариация энергии деформации:

Упростим выражение:

(все интегралы – от 0 до , все слагамеые без инеграла – в подстановке от 0 до )

Итоговые уравнения:

Анализ

Вместе с граничными условиями полученные выражения составляют разрешающую систему дифференциальных уравнений плоской задачи.

Полученные формулы тяжело использовать для ручного счета, но могут быть применены для решения задач деформации стержня с использованием современных программных комплексов.

Сравним полученные выражения с уравнениями теории Бернулли-Эйлера [4]:

где  – изгибающий момент,  – поперечная сила, N – продольная сила,  – распределенная нагрузка на стержень.

Уравнения (8) и (9) неявно включены в уравнения (3)-(5) и могут быть сведены к одному уравнению:

Уравнения (6) не учитывает сдвиговую деформацию стержня, а уравнение (7) удерживает только линейную часть выражения для продольной деформации. Следовательно, система уравнений (3)-(5) – более точно описывает деформацию стержня, чем уравнения (6), (7), (10). Уравнения в теории Бернулли-Эйлера имеют более простую форму: достаточно подставить (6) в (10) и останется только два независимых уравнения, одно из которых – (7), а второе:

Из-за большей сложности теория Тимошенко на практике применяется не так часто, как теория Бернулли-Эйлера. А учет нелинейной зависимости деформаций от перемещений применяется еще реже.

Теория Тимошенко имеет большое значение для коротких стержней, когда влияние сдвиговой деформации соизмеримо с деформацией изгиба. Нелинейное слагаемое для продольной деформации важно учитывать для стержней большой гибкости или для строительных конструкций, находящихся в аварийном состоянии, когда деформации очень велики.

Сдвиг также оказывает влияние и на динамическое поведение несущих элементов. Если рассмотреть свободные колебания произвольной стержневой системы, то можно увидеть, что для первых собственных форм колебаний (СФК), учет сдвига почти не влияет на частоту. Но при рассмотрении СФК более высокого порядка наблюдается значительной отклонение в частоте. График зависимости частоты от формы собственных колебаний для балки с произвольными характеристиками сечения и закреплением представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. Зависиомть частоты от формы колебаний

Из графика видно, что при больших номерах форм колебаний учет сдвига (модель Тимошенко) дает большую частоту, чем для балки, рассчитанной по модели Бернулли-Эйлера).

Вывод

Получены дифференциальные уравнения деформации геометрически нелинейного стержня Тимошенко. Эти уравнения являются более точными по сравнению с получаемыми в теории Бернулли-Эйлера и могут быть использованы для расчета стержневых систем любой сложности.

Список литературы:

1. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. M.: АСВ, 2009. 394 с.
2. Лалин В.В. Различные формы уравнений нелинейной динамики упругих стержней // Труды СПбГПУ. 2004. №489. С. 121–128.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. M.: Наука, 1987. 248 с.
4. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. 592 с.
5. Bisshopp K.E., Drucker D.C. Large Deflection of Cantilever Beams. Quarterly of Applied Mathematics. 1945. No. 3. Pp. 272–275.
6. Frisch-Fay R. Flexible bars. Butterworth & Cо. Sussex, 1962. 220 p.
7. Jung P., Leyendecker S., Linn J., Ortiz M. A discrete mechanics approach to the Cosserat rod theory – Part 1: static equilibria. International journal for numerical methods in engineering. 2010. Vol. 85. No. 1. Pp. 31–60.
8. Levy R., Spillers W.R. Analysis of Geometrically nonlinear structures: Second Edition. Dordrecht: Kluwer academic publishers, 2003. 272 p.
9. Nayfeh A.H., Pai P.F. Linear and nonlinear structural mechanics. John Wiley & Sons Inc. Mörlenbach, 2004. 754 p.
10. Zienkiewicz O.C., Fox D., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics: Seventh Edition. Butterworth–Heinemann: Oxford, 2014. 672 p.