РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ ТАБЛИЧНЫМ СИМПЛЕКС МЕТОДОМ

АННОТАЦИЯ

В статье показывается как решать задачи на производстве связанные с выбором плана работы.

В процессе решения используется табличный метод линейного программирования, чтобы все шаги были последовательно видны.

По итогу мы должны получить самый эффективный план производства.

Ключевые слова: Эффективность, табличный симплекс метод, задачи производства, результат, общедоступность.

1. Условие задачи

Существует предприятие. Оно может выпускать продукцию 2 разными способами и для выпуска этой продукции необходимы 3 вида ресурсов, которые у предприятия ограничены.

Таблица 1.

Условие задачи

В первом способе предприятие выпускает 5 т. изделий в месяц, во втором 3 т. изделий.

Нужно найти количество месяцев работы по каждому плану для получения лучшего результата.

2. Постановка математической модели

Обозначим:

x₁ — количество месяцев работы первым способом;

x₂ — количество месяцев работы вторым способом.

Целевая функция:

F=5x₁+3x₂→max

Ограничения по ресурсам:

2x₁+x₂≤6

x₁+2x₂≤5

3x₁+x₂≤9

x₁≥0, x₂≥0

3. Переход к канонической форме

Введём дополнительные переменные:

x3x_3x3 — остаток сырья;

x4x_4x4 — остаток оборудования;

x5x_5x5 — остаток электроэнергии.

Тогда система примет вид:

2x₁+x₂+x₃=6

x₁+2x₂+x₄=5

3x₁+x₂+x₅=9

Целевая функция:

F=5x₁+3x₂+0x₃+0x₄+0x₅

4. Начальная симплекс-таблица

Таблица 2.

Начальная симплекс-таблица

Наибольшая положительная оценка находится в столбце x₁​, поэтому именно эта переменная первой вводится в базис.

Определяем разрешающую строку:

6/2=3

5/1=5

9/3=3

Минимальное отношение равно 3. В качестве разрешающей строки берём первую строку. Разрешающий элемент — 2.

5. Первая итерация

Делим первую строку на 2:

x₁+0,5x₂+0,5x₃=3

Теперь исключаем x1 из остальных строк.

Получаем вторую симплекс-таблицу:

Таблица 3.

Результат после первой цепочки преобразований.

В строке оценок осталось положительное значение у x₂. Значит, решение можно улучшить за счёт включения x₂ в базис.

Определяем разрешающую строку:

3/0,5=6

2/1,5=4/3

Третья строка не учитывается, так как коэффициент в столбце x₂ отрицательный.

Минимальное отношение равно:

4/3

Следовательно, из базиса выходит x₄​, а входит x₂​. Разрешающий элемент — 1,5.

6. Вторая итерация

Делим вторую строку на 1,5:

x₂−1/3x₃+2/3x₄=4/3

После преобразований получаем итоговую таблицу:

Таблица 4.

Итоговая симплекс-таблица

В строке Δj больше нет положительных значений. Это означает, что дальнейшее увеличение целевой функции невозможно. Полученное решение является оптимальным.

7. Ответ

Из итоговой таблицы:

x₁=7/3 x₂=4/3

То есть предприятие должно работать:

• первым способом — 7/3 месяца, или примерно 2,33 месяца;
• вторым способом — 4/3 месяца, или примерно 1,33 месяца.

Максимальный выпуск продукции:

F_max=5⋅7/3+3⋅4/3

F_max=35/3+12/3=47/3

F_max≈15,67

Ответ: максимальный выпуск составит примерно 15,67 тыс. изделий.

8. Экономическая интерпретация

Полученный результат говорит о том, что нужно использовать оба способа производства.

План составляется чтобы повысить эффективность производства и грамотно использовать ресурсы без дополнительных издержек.

9. Результат исследования

В итоге для максимальной эффективности предприятию надо работать первым способом в объёме 7/3 месяца и вторым в объёме 4/3 месяца. Суммарный результат составляет 47/3, это примерно 15,67 тыс. изделий.

Проводя анализ, можно сказать, что мы нашли самое оптимальное решение, потому что не осталось излишек ресурсов, и произведено наибольшее количество товаров.

Вывод исследования

Результат исследования показывает, что использование симплекс метода при решении подобных задач необходимо из-за понятности и наглядности решения, точности и быстроте нахождения результата. Это поможет составлять планы и схемы работы.

Список литературы:

1. Акулич, И. Л., издательство Лань, год 2021, Страница 352.
2. Замков, О. О. издательство Дело и Сервис, год 2020, Страница 384.