ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ НА ПРИМЕРЕ МАТРИЧНЫХ ИГР И ИГР С ПРИРОДОЙ

В статье рассматриваются игровые методы принятия решений в экономике в условиях неопределённости на примере матричных игр и игр с природой. Изложена практическая задача об определении оптимальной мощности ателье по ремонту телевизоров при различных значениях потока заявок. Приведён расчёт матрицы выигрышей и выполнена оценка альтернативных стратегий по пяти критериям: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

1. Практическая часть. Задача об оптимальной мощности ателье

Условие задачи

Создается ателье для ремонта телевизоров в стационарных условиях. Поток заявок на ремонт може          т принимать значения 2, 4, 6 и 8 тыс. заявок в год. Прибыль от ремонта одного телевизора составляет 9 денежных единиц. Потери, вызванные отказом в ремонте из-за недостатка мощности, составляют 5 денежных единиц. Убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок составляют 6 денежных единиц. Необходимо определить оптимальную мощность создаваемого ателье, используя критерии Байеса, Лапласа, Сэвиджа, Вальда и Гурвица.

Возможные стратегии и состояния среды

Возможные мощности ателье (стратегии): A = {2, 4, 6, 8} тыс. заявок в год.

Возможный поток заявок (состояния среды): S = {2, 4, 6, 8} тыс. заявок в год.

Формирование функции прибыли

Обозначим:

Q — мощность ателье.

D — фактический спрос.

Если D ≤ Q, возникает простой оборудования: F = 9D − 6(Q − D)

Если D > Q, часть клиентов получает отказ: F = 9Q − 5(D − Q)

2. Расчет матрицы выигрышей

Рассчитаем прибыль для каждой комбинации мощности и спроса. Мощность 2:

D=2: 9×2 = 18

D=4: 9×2 − 5(4−2) = 8

D=6: 18 − 5(6−2) = −2

D=8: 18 − 5(8−2) = −12

Мощность 4:

D=2: 9×2 − 6(4−2) = 6

D=4: 9×4 = 36

D=6: 36 − 5(6−4) = 26

D=8: 36 − 5(8−4) = 16

Мощность 6:

D=2: 18 − 6(6−2) = −6

D=4: 36 − 6(6−4) = 24

D=6: 9×6 = 54

D=8: 54 − 5(8−6) = 44

Мощность 8:

D=2: 18 − 6(8−2) = −18

D=4: 36 − 6(8−4) = 12

D=6: 54 − 6(8−6) = 42

D=8: 9×8 = 72

Таблица 1.

Получаем матрицу выигрышей (тыс. ден. ед.).

3. Решение по критериям

1. Критерий Байеса

Предполагаем равные вероятности состояний среды (1/4). A1 = (18 + 8 − 2 − 12) / 4 = 3

A2 = (6 + 36 + 26 + 16) / 4 = 21

A3 = (−6 + 24 + 54 + 44) / 4 = 29

A4 = (−18 + 12 + 42 + 72) / 4 = 27

Максимальный средний выигрыш равен 29 → мощность 6 тыс.

2. Критерий Лапласа

Средний выигрыш:

S = 2: 3

S = 4: 21

S = 6: 29

S = 8: 27

Максимум – 29, что соответствует s=6.

Оптимальная мощность: 6 тыс.

3. Критерий Вальда (максимин)

Минимальные значения по строкам:

A1 = −12

A2 = 6

A3 = −6

A4 = −18

Максимум из этих значений равен 6 → мощность 4 тыс.

4. Критерий Сэвиджа

Таблица 2.

Матрица сожалений

После построения матрицы сожалений минимальное максимальное сожаление получается при мощности 6 тыс.

5.Критерий Гурвица

Примем коэффициент оптимизма α = 0.5.

H=α·max+(1−α)·minA1=3

A2 = 21

A3 = 24

A4 = 27

С учетом результатов остальных критериев наиболее рациональна мощность 6 тыс.

4. Итог практической части

Большинство критериев (Байес, Лаплас, Сэвидж) выбирают мощность 6 тыс. заявок в год. Критерий Вальда (пессимист) выбирает 4 тыс., критерий Гурвица при α=0.5 – 8 тыс.

С учётом компромисса и реальной экономической ситуации наиболее рациональна мощность 6 тыс.

Таблица 3.

Сравнение матричных игр и игр с природой

5. Применение игровых методов в экономике

1. Бизнес-планирование – выбор объёма производства при неопределённом спросе.
2. Инвестиции – выбор проекта в условиях нестабильной экономики.
3. Госзакупки – определение стратегии тендера.
4. Управление запасами – оптимизация складских запасов.
5. Энергетика – выбор режима работы станций при неопределённом потреблении.

Заключение

Игровые методы – мощный инструмент анализа экономических решений в условиях неопределённости.

• Матричные игры применимы в конкурентной среде.
• Игры с природой полезны, когда основная неопределённость – внешние факторы.

На примере задачи об ателье показано, как разные критерии (от пессимистичного до оптимистичного) дают разные рекомендации. Выбор конкретного критерия зависит от склонности ЛПР к риску и наличия информации о вероятностях.

Практическая ценность этих методов – в формализации рисков и прозрачности логики выбора, что особенно важно в экономике, управлении и финансовом анализе.

Список литературы:

2. Лабскер, Л. Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом : учеб. пособие / Л. Г. Лабскер, Н. А. Ященко. — М. : Дело, 2008. — 432 с.
3. Петросян, Л. А. Теория игр : учебник для вузов / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. — М. : Высш. шк., 2010. — 300 с.
4. Мулен, Э. Теория игр с примерами из математической экономики / Э. Мулен ; пер. с фр. — М. : Мир, 1985. — 200 с.
5. Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман, О. Моргенштерн ; пер. с англ. — М. : Наука, 1970. — 708 с.
6. Замков, О. О. Математические методы в экономике : учебник / О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. — 3-е изд., перераб. — М. : Дело и Сервис, 2006. — 368 с.
7. Васин, А. А. Введение в теорию игр с приложениями к экономике : учеб. пособие / А. А. Васин, П. С. Краснощеков. — М. : Физматлит, 2005. — 272 с.
8. Лабскер, Л. Г. Критерии оптимальности в матричных играх с природой : анализ и классификация / Л. Г. Лабскер // Экономический анализ: теория и практика. — 2010. — № 25. — С. 42–48.