ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «ПАРАДОКСА ДНЕЙ РОЖДЕНИЙ»

EMPIRICAL ANALYSIS OF THE BIRTHDAY PARADOX

Pushkarova Leonella Victorovna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Belarus, Minsk

Kuratova Maria Alexandrovna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

Senior Lecturer, Department of Economic Informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

Эмпирическое исследование парадокса дней рождений как примера контринтуитивных свойств вероятностных моделей. Анализ теоретической вероятности совпадений дней рождения и комбинаторных факторов, влияющих на её рост. Представление результатов моделирования методом Монте-Карло и обсуждение причин расхождения интуитивных и математических оценок.

ABSTRACT

An empirical study of the birthday paradox as an example of counterintuitive behavior in probabilistic models. An analysis of the theoretical probability of birthday coincidences and the combinatorial factors that influence its increase. Presentation of Monte Carlo simulation results and discussion of the reasons for discrepancies between intuitive and mathematical estimations.

Ключевые слова: парадокс дней рождений; теория вероятностей; моделирование Монте-Карло; комбинаторика; статистические модели.

Keywords: birthday paradox; probability theory; Monte Carlo simulation; combinatorics; statistical models.

Парадокс дней рождений традиционно рассматривается в курсе теории вероятностей как один из наиболее ярких и наглядных примеров контринтуитивного поведения вероятностных моделей. Суть парадокса состоит в том, что в группе всего из 23 человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двоих превышает 50%. Такое утверждение часто кажется неправдоподобным, особенно студентам, впервые сталкивающимся с задачей, поскольку интуитивно кажется, что 23 — это слишком мало, учитывая, что в году 365 дней.

Теоретическая основа парадокса строится на оценке вероятности того, что в группе из n человек нет ни одного совпадения по дням рождения. Если считать, что каждый день в году равновероятен, а дни рождения людей независимы, то вероятность того, что у первого человека день рождения может быть любым, составляет . У следующего человека уже должно быть одно из оставшихся 364 значений, чтобы не возникло совпадения, то есть вероятность равна . Для третьего человека остаётся 363363363 возможных дат и так далее, пока для n-го человека остаётся 365−n+1 «свободных» дней. Таким образом, общая вероятность различия всех дней рождения вычисляется как произведение:

                                                                 (1)

n — это количество людей в группе.

Искомая вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения есть дополнение события к единице:

                                                                                (2)

Подстановка n=23 даёт значение порядка 0,507, то есть вероятность превышает 50%. Для групп большего размера вероятность возрастает ещё быстрее: для 30 человек она достигает 70%, для 40 — почти 90%, а при 50 — более 97%. Такое стремительное увеличение вероятности объясняется тем, что количество возможных попарных сравнений растёт квадратично. Уже при 23 людях число пар равно . Именно этот комбинаторный эффект и является ключевым фактором парадокса.

Чтобы проверить точность теоретической модели и продемонстрировать её соответствие реальному случайному процессу, было проведено эмпирическое исследование методом Монте-Карло. Для каждого значения n от 5 до 50 выполнялось по 100 000 независимых моделирований. В рамках каждого опыта случайным образом генерировались дни рождения всех участников, после чего фиксировалось наличие хотя бы одного совпадения. Данный метод позволяет оценить частоту события напрямую, без обращения к аналитическим формулам, и даёт возможность сравнить теоретические результаты с эмпирическими.

Полученные данные показали почти идеальное совпадение с теоретическими значениями. Например, для n=10 вероятность совпадений составила около 0,115, что совпадает с аналитической оценкой 0,116. Для n=20 эмпирическое значение составило 0,409 (теоретическое — 0,411), а для классического случая n=23 вероятность стабильно оценивалась на уровне 0,505–0,507. Расхождения между теоретической и экспериментальной вероятностью в большинстве случаев не превышали 0,3–0,5 процентных пунктов, что полностью укладывается в статистическую погрешность метода Монте-Карло при выбранном количестве повторений.

Особый интерес представляет графическое отображение зависимости вероятности совпадений от числа людей. Кривая демонстрирует характерный S-образный рост, где при малых значениях n вероятность меняется очень медленно, однако после достижения около 15–20 человек начинает резко возрастать. Это подчёркивает тот факт, что парадоксальные свойства задачи проявляются не постепенно, а практически внезапно — начиная с некоторого порога. Именно этот резкий переход и создаёт эффект контринтуитивности, так как человеку сложно воспринимать вероятность как нелинейную функцию, особенно в случаях, когда она определяется количеством попарных сравнений, а не отношением одного события к общему числу возможных исходов.

Важным аспектом анализа является обсуждение предположений модели. Теоретическая задача предполагает равномерное распределение дней рождения, хотя в реальности распределение слегка неравномерно: существуют пики рождаемости в определённые месяцы, а также влияние праздничных и сезонных факторов. Тем не менее многократные исследования показали, что эта неравномерность практически не влияет на общие выводы парадокса. Даже если использовать реальные статистические данные, вероятность совпадений остаётся близкой к значениям, вычисленным с использованием идеализированной модели.

Эмпирическое исследование продемонстрировало не только корректность классической теории, но и важность экспериментальных методов для проверки вероятностных утверждений. Метод Монте-Карло является мощным инструментом, позволяющим наглядно показать студентам и исследователям, что математические расчёты отражают реальные вероятностные процессы. Более того, парадокс дней рождений служит универсальной иллюстрацией ошибки человеческой интуиции: люди склонны сосредотачиваться на совпадении «с кем-то конкретным», тогда как реальная задача включает в себя анализ всех возможных пар.

Таким образом, проведённое исследование подтверждает значимость парадокса дней рождений как учебного и научного инструмента, демонстрирующего необходимость строгого аналитического подхода и роль моделирования в теории вероятностей. Полученные результаты могут использоваться при преподавании дисциплин, связанных с вероятностными моделями, статистикой, комбинаторикой, а также в курсах по математическому мышлению, где важно показать различие между интуитивными и формальными оценками вероятности.

Список литературы:

1. Understanding the Birthday Paradox — BetterExplained. — URL: https://betterexplained.com/articles/understanding-the-birthday-paradox/ (дата обращения: 27.11.2025).
2. Парадокс дней рождений: наглядное объяснение — MAXIM. — URL: https://betterexplained.com/articles/understanding-the-birthday-paradox/ (дата обращения: 27.11.2025).
3. Understanding the Birthday Paradox / Shashank Tiwari. — URL: https://shanky.org/2018/11/08/understanding-the-birthday-paradox/ (дата обращения: 27.11.2025).