МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ПРОИЗВОДСТВА КАРАМЕЛЬНОЙ МАССЫ

Одной из наиболее актуальных задач комплексной автоматизации процесса производства карамельной массы является математическое описание промышленных процессов, а также процессов химической технологии. В основе любого сложного процесса лежат различные по своей природе физические процессы [2].

Исходя из постановки задачи автоматизации, в результате математического моделирования необходимо установить математическую связь между входными и выходными переменными [3].

Математическое моделирование является одним из важнейших методов научного исследования, позволяющих установить в каждом моделируемом объекте (процессе) основные закономерности [3].

Математическая модель химического процесса содержит ряд соотношений, которые выражают качественные и количественные характеристики явлений, имеющих место при химических реакциях. В этом случае используем уравнения, описывающие закономерности протекания химических реакций, т.е. кинетические уравнения и уравнения материального и энергетического и покомпонентного баланса [4].

При построении математического описания процессов, протекающих в сборнике карамельного сиропа, приняты следующие допущения: [4]

• Объем сборника карамельного сиропа считается объектом с сосредоточенными параметрами и допускается идеальное смешение в объеме.
• Химические реакции протекают при избытке воды (в мольном соотношении).
• Удельные теплоемкости сиропа, воды в рубашке считаются постоянными, вследствие малых изменений концентрации сухих веществ и температуры.

а) Общий материальный баланс реакционной смеси [5]:

,                                                                                             (1)

,

где  - масса карамельного сиропа, кг;

 - масса карамельного сиропа в момент подачи в сборник сиропа, кг;

 - расход карамельного сиропа в сборник сиропа, кг/с.

б) Покомпонентный материальный баланс карамельного сиропа [5]:

                                                                                          (2)

                                                                                          (3)

                                                                   (4)

                                                                                (5)

где  - концентрация сахарозы, моль/кг;

 - концентрация мальтозы, моль/кг;

 - концентрация глюкозы, моль/кг;

 - концентрация фруктозы, моль/кг;

-константа скорости реакции разложения сахарозы, мальтозы, глюкозы, фруктозы, кг²/(моль² с).

Константа скорости реакций для данного технологического процесса были посчитаны согласно методике, представленной в литературном источнике [5].

Расход пара на нагревание определяется из соотношения [5]:

,                                                                         (6)

где:

 - степень открытия клапана подачи пара;

 - диаметр трубопровода, мм;

 - давление пара с магистрали, кПа;

 - атмосферное давление, кПа;

- плотность пара, кг/м³;

в) энергетический баланс для сиропа:

,                                                              (7)

,

где  ,  - удельная теплоемкость сиропа, Дж/(кг*С);

 - температура сиропа, поступающая в сборник сиропа, С;

 -коэффициент теплопередачи, Дж/(м²с*С);

 - активная поверхность теплопередачи, м²;

 - температура воды, подаваемая в сборник, С; [5]

г) Энергетический баланс для рубашки:

                                  (8)

,

где  - масса воды, кг;

 -удельная теплоемкость воды, Дж/(кг*С);

 - энтальпия греющего пара, Дж/кг;

 - расход пара на входе в рубашку сборника сиропа, кг/с[5];

Таким образом, математическое описание динамики в сборнике карамельного сиропа представляет собой систему алгебраических и дифференциальных уравнений, с соответствующими начальными условиями.

Теплофизические параметры ,  входящие в уравнения математической модели, являются справочными величинами. Величинa  определяется конструктивными параметрами сборника. Коэффициент теплопередачи  является основным критерием, определяющим скорость изменения температуры сиропа. Однако для небольшого диапазона изменения температуры сиропа и окружающей среды коэффициенты теплопередачи можно считать постоянными величинами, определяемые по методике представленной в литературном источнике [5] и равны: K₁  = 1000 . 

В общем случае математическая модель может быть представлена в виде:

,                                                                                          (9)

где - вектор входных координат; - вектор идентифицируемых параметров; - вектор параметров, заданных априорно.

Считается, что идентификация ММ состоит из двух этапов: коррекции вектора  и проверки адекватности откорректированной модели [12].

Математическая модель объекта управления может считается адекватной, если  её приведенная погрешность  во всех экспериментах каждой из координат адекватности, в качестве которых выступают измеряемые выходные переменные , не превышает заданного допустимого значения  [13]. Величина e определяется:

,                                                                                   (10)

где  - расчетное и экспериментальное значения соответствующей координаты адекватности  при одинаковых значениях входных параметров объекта, - диапазон изменения j-й координаты адекватности.

Учитывая, что при экспериментальном определении получают не , а  для , где  - количество измерений -й выходной измеряемой переменной;  - шаг дискретизации по длине для -й переменной, (3.2) перепишется в следующем виде:

                                                                       (11)

где  - количество измеряемых выходных переменных,  - номер измерения.

Отметим, что все экспериментальные данные делим на две выборки: поверочную и рабочую и при идентификации математической модели осуществляется обмен экспериментальными данными между упомянутыми выборками. Поверочная выборка используется для проверки точности математической модели, рабочая - для коррекции настроечных коэффициентов модели.

Задача коррекции ММ математически формулируется следующим образом. Из физического смысла следует, что вектор  принадлежит ограниченной области допустимых значений .

Пусть экспериментальным путем получены значения входных  и выходных  параметров, где ; ; ; . Соответственно  - означают размерность вектора входных параметров и количество проведенных экспериментов. Далее находится решение ММ при подстановке в качестве входных координат вектора  и строится неотрицательная функция:

                                                                            (12)

где  - верхняя и нижняя границы изменения j - той координаты адекватности в -м эксперименте.

Коррекция ММ заключается в отыскании  такого, что:

.                                                                               (13)

Блок-схема алгоритма идентификации математической модели процесса производства карамельной массы приведена на рисунке 4.

Рисунок 4. Блок-схема алгоритма идентификации математической модели

Применительно к математической модели сборника для сиропа в качестве входных параметров выступают: расход греющего пара ; температура сиропа на входе в сборник ; масса сиропа в сборнике ; масса воды в рубашке .

Выходным параметром данного процесса является температура сиропа на выходе из сборника t_сир.

Точность математической модели процессов, протекающих в аппарате, оценивается по следующим величинам:

,    ,                                             (14)

,    ,                                                                    (15)

где  - экспериментальное значение  в -й момент времени;  - значение , рассчитанное по модели в -й момент времени;  - максимальное и минимальное значение ,  - экспериментальное и расчетное значения  в -й момент времени  - максимальное и минимальное значение .

В уравнения математической модели входят неизвестные в общем случае переменные К₁, К₂, К₃, К₄. Таким образом η= (К₁, К₂, К₃, К₄). Определяется неотрицательная выпуклая функция:

,                              (16)

где  - экспериментальное и рассчитанное по модели значения температуры в -й момент времени в -м эксперименте; - верхние и нижние границы изменения температуры в -м эксперименте; - экспериментальное и рассчитанное по модели значения концентрации веществ в -й момент времени в -м эксперименте; - верхняя и нижняя границы изменения концентрации в -м эксперименте [15].

Определение К₁, К₂, К₃, К₄ проводилось методом сканирования в возможной области изменения этих параметров.

На рисунке 5 изображены расчетные и экспериментальные значения концентрации сахарозы ,  на выходе из сборника сиропа.

Рисунок 5. Концентрация сахарозы на выходе из сборника сиропа:  - расчетная,  - экспериментальная

На рисунке 6 изображены расчетные и экспериментальные значения концентрации мальтозы ,  на выходе из сборника сиропа.

Рисунок 6. Концентрация мальтозы на выходе из сборника сиропа:  - расчетная,  - экспериментальная

На рисунке 7 изображены расчетные и экспериментальные значения концентрации глюкозы ,  на выходе из сборника сиропа.

Рисунок 7. Концентрация глюкозы на выходе из сборника сиропа:  - расчетная,  - экспериментальная

На рисунке 8 изображены расчетные и экспериментальные значения концентрации фруктозы ,  на выходе из сборника сиропа.

Рисунок 8. Концентрация фруктозы на выходе из сборника сиропа:  - расчетная,  - экспериментальная

На рисунке 9 изображены расчетные и экспериментальные значения температуры смеси ,  на выходе из сборника сиропа.

Рисунок 9. Температура сиропа на выходе из сборника сиропа: - расчетная, - экспериментальная

Сравнительный анализ данных показывает, что модель адекватна, и ошибка модели  составляет 7,5 %.

,                                           (17)

где  - число экспериментов в поверочной выборке.

Таким образом, проводя анализ рисунков 5 – 9 и ошибку используемой модели, можно смело утверждать, что точность математической модели достаточна для изучения процесса путем проведения имитационных исследований по математической модели.

Список литературы:

1. Технологический регламент процесса производства карамельной массы.
2. Истомина М.М. Конфеты: Современная технология. / М.М.  Истомина [и др.] М.: 1979.
3. Герасимова, И.В. Основы кондитерского производства / И. В. Герасимова, Н. М. Новикова, Н В. Карушева - Мн.: Колос, 1996.- 224c.
4. Агеев Л.М. Технология сахаристых веществ. Общий курс./ Л.М. Агеев, С.З. Иванов, В.А Смирнов - М.: Пищепромиздат, 1961. - 485с.
5. Аксенов Л.М. Кондитерская промышленность России / Л.М. Аксенов, Н.С. Кудинова. – М.: Наука, 1998. – 165 с.
6. Балакирев В.С. Методы исследования статики и динамики объекта регулирования и выбора настроек регуляторов / В.С.  Балакирев – М.: МЭИ, 1966. – 124 с.
7. Корсаков-Богатков С.М. Химические реакторы как объекты математического моделирования/ С.М. Корсаков-Богатков. – М.: Химия, 1987. – 224с.
8. Сапронов А.Р. Красящие вещества и их влияние на качество сахара. Пищевая промышленность/ А.Р. Сапронов, Р.А.   Колчева 1975. -375с.
9. Кафаров В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб.пособие для вузов / В.В. Кафаров, М.Б. Глебов. - М.: Высш.шк., 1991. - 400 с.
10. Грачев Ю.П. Моделирование и оптимизация тепло - и массообменных производств. М.: Легкая и пищевая промышленность / Ю.П. Грачев, А.К. Тубольцев, В.К. Тубольцев 1984. - 216с.
11. Официальный сайт MasterSCADA. – Режим доступа: https://www.masterscada.ru/
12. Елизаров И.А. Интегрированные системы проектирования и управления. SCADA-системы [Электронный ресурс]: учебное пособие / И.А. Елизаров [и др.]. - Тамбов: Тамбовский государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2015. - 160 c. - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/63849.html.
13. Сидоренко М. Карамель длительного хранения / Сидоренко М., М.Ю. Сидоренко: Кондитерское производство, 2003.- 49 с.
14. ГОСТ 24.104-85 ЕСС АСУ «Автоматизированные системы управления. Общие требования»
15. Елизаров И.А. Технические средства автоматизации. Программно-технические комплексы и контроллеры. / И.А. Елизаров, Ю.Ф. Мартемьянов, А.Г. Схиртладзе, С.В. Фролов. // Тамбов: ТГТУ, 2003. - 140 с.
16. Бессекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бессекерский, Е.П. Попов // М.: Наука, 1975. – 768 с.
17. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем / Г.В. Дружинин. - 4-е изд., 1986. - 479 с.
18. Юревич Е.И. Теория автоматического управления: учебник для вузов / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975. - 413 с.
19. Корнеева А.И. Программно-технические комплексы, контроллеры и SCADA-системы: темат. обзор / А.И. Корнеева, В.Г. Матвейкин, С.В. Фролов. - М.: ЦНИИТ Энефтехим, 1996. - 219 с.
20. Герасимов А.В. Проектирование АСУТП с использованием SCADA-систем [Электронный ресурс]: учебное пособие / А.В. Герасимов, А.С. Титовцев. - Казань: Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2014. - 128 c. - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/63973.html.
21. Старостин А.А. Технические средства автоматизации и управления [Электронный ресурс]: учебное пособие / А.А. Старостин, А.В. Лаптева. - Екатеринбург: Уральский федеральный университет, 2015. - 168 c. - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/68302.html
22. Схиртладзе А.Г. Автоматизация технологических процессов и производств [Электронный ресурс]: учебник / А.Г. Схиртладзе, А.В. Федотов, В.Г. Хомченко. — Саратов: Вузовское образование, 2015. 459 c. Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/37830.html.
23. Федоров Ю.Н. Справочник инженера по АСУТП. Проектирование и разработка [Электронный ресурс]: учебно-практическое пособие / Ю.Н. Федоров. - Вологда: Инфра-Инженерия, 2016. - 928 c. - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/5060.html