КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

АННОТАЦИЯ

Статья представляет собой систематизированный обзор классификации задач математического программирования (МП) – ключевого инструмента оптимизации в экономике, логистике и управлении. Основное внимание уделено критериям разделения задач:

• тип функций (линейные, нелинейные, квадратичные, дробно-линейные);
• характер переменных (непрерывные, дискретные, целочисленные);
• динамика (статические, динамические);
• определённость условий (детерминированные, стохастические);
• многокритериальность (Парето-оптимум, метод уступок).

Рассмотрены методы решения для каждого класса: симплекс-метод (ЛП), градиентный спуск (НЛП), преобразование Чарнса-Купманса (дробно-линейные задачи). Практические примеры включают минимизацию затрат, максимизацию прибыли и оптимизацию рентабельности. Подчёркивается важность корректной классификации для выбора алгоритмов и повышения эффективности решений в реальных условиях.

Ключевые слова: математическое программирование, классификация задач, линейное программирование (ЛП), нелинейное программирование (НЛП), целочисленное программирование, динамическое программирование, детерминированные задачи, стохастические задачи, Парето-оптимум, симплекс-метод, метод Лагранжа, дробно-линейное программирование.

Математическое программирование (МП) – это раздел прикладной математики, посвященный поиску экстремумов функций многих переменных при заданных ограничениях. Его методы применяются в экономике, логистике, управлении ресурсами и других областях, где требуется оптимизация решений. Задачи МП разнообразны, и их классификация зависит от множества факторов. Рассмотрим основные критерии, по которым разделяются такие задачи.

1. По типу функций:

Ключевой критерий - вид целевой функции и ограничений:

• Линейное программирование (ЛП). Все функции (целевая и ограничения) линейны [1,2]. Пример: максимизация прибыли при линейных зависимостях от объемов производства. Методы решения: симплекс-метод, графический подход.
• Нелинейное программирование (НЛП). Присутствуют нелинейные зависимости [1,2]. Пример: оптимизация функции вида  с ограничениями на ресурсы. Методы: градиентный спуск, метод множителей Лагранжа.
• Квадратичное программирование – подкласс НЛП с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями [1]. Пример: минимизация риска портфеля ценных бумаг.
• Выпуклое программирование – задачи с выпуклыми функциями и ограничениями, где локальный экстремум является глобальным [1, 2].

2. По характеру переменных: [1]
   • Непрерывные задачи. Переменные принимают любые значения в заданном диапазоне. Пример: оптимизация расходов на сырьё, где объемы могут быть дробными.
   • Дискретные задачи. Переменные ограничены целыми значениями. Пример: выбор количества станков для закупки (только целые числа).
   • Целочисленное программирование – частный случай дискретных задач, где переменные принимают целочисленные значения.
3. По учету времени: [1]
   • Статические задачи. Параметры модели неизменны во времени. Пример: распределение бюджета на год.
   • Динамические задачи. Учитывают изменение параметров на разных этапах. Пример: многоэтапное планирование производства с учетом сезонного спроса. Методы: динамическое программирование.
4. По степени определенности: [1]
   • Детерминированные задачи. Все параметры известны точно. Пример: расчет оптимального маршрута при фиксированных затратах времени.
   • Стохастические задачи. Учитывают случайные факторы. Пример: оптимизация поставок при неопределенном спросе.
5. По числу критериев:
   • Однокритериальные задачи. Оптимизация по одному показателю. Пример: максимизация прибыли.
   • Многокритериальные задачи. Требуется баланс между несколькими целями [2]. Пример: максимизация прибыли при минимизации экологического ущерба. Методы: поиск Парето-оптимумов, метод уступок.
6. Специальные классы задач: [1]
   • Параметрическое программирование. Коэффициенты модели зависят от параметра. Пример: анализ устойчивости решений при изменении цен на ресурсы.
   • Дробно-линейное программирование. Целевая функция – отношение линейных функций. Пример: максимизация рентабельности . Методы: преобразование Чарнса-Купманса.

Примеры задач:

1. Линейная задача:

Минимизация  при ограничениях:

, , .

Решение:  (симплекс-метод).

2. Нелинейная задача:

Максимизация  при ограничениях:

, .

Решение:  (метод Лагранжа).

3. Многокритериальная задача:

Максимизация  и  при ограничениях.

Парето-оптимум: точки (1; 4) и (2; 4).

Классификация задач математического программирования позволяет выбрать оптимальный метод решения, учитывая особенности модели: линейность, выпуклость, дискретность или наличие нескольких критериев. Понимание этих категорий критически важно для применения МП в реальных условиях, где эффективность решений напрямую влияет на экономические, технологические и социальные результаты.

Список литературы:

1. Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов. — М.: Высшая школа, 1986 — 319 c.
2. Высшая математика: учебно-методическое пособие. — Минск: ГИУСТ БГУ, 2010 — 158 c.