МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫ КУРСЫНДА «ЧЖУН-ЧА» ӘДІСІ АРҚЫЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ВИЗУАЛИЗАЦИЯЛАНДЫРУ

​ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ТРИГОНОМЕТРИИ МЕТОДОМ "ЧЖУН-ЧА" В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Умирбай Улданай Нурлановна

студент, специальность 6В01501-Математика, Казахский национальный женский педагогический университет,

РК, г. Алматы

Жалгас Аружан Айтбаевна

студент, специальность 6в01501-Математика, Казахский национальный женский педагогический университет,

РК, г. Алматы

Искакова Акжолтай Курмантаевна

Научный руководитель-к. ф. - м. н., община. профессор Казахский национальный женский педагогический университет

РК, г. Алматы

АҢДАПТА

Мақалада мектеп курсында қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықтарды өлшеу, анықтау мәселелерінің шығару жолы қарастырылды. Бұл мәселелерді шешу жолы геометрия курсы мен өмірдегі жағдайлар байланысу арқылы оқушылардың қызығушылығын арттырды. Қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтауға қатысты математикадағы есептер, олардың шығару жолдары мен әдістеріне мысалдар келтірілген. Мектеп геометрия курсында ұқсас үшбұрыштарды, синустар мен косинустар теоремаларының қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты есептеуде қолданулуының тиімділігі, пайдасы анықталды.

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрен способ решения задач измерения, определения расстояний до недоступных объектов в школьном курсе. Путь решения этих задач повысил интерес учащихся за счет курса геометрии и условий жизни. Приведены задачи в математике, касающиеся определения расстояний до труднодоступных объектов, примеры способов и методов их вывода. В школьном курсе геометрии выявлена эффективность, польза применения теорем о сходных треугольниках, синусах и косинусах при вычислении расстояний до недостижимых объектов.

Кілт сөздер: қол жетпейтін объект, ұқсас үшбұрыштар, синустар теоремасы, косинустар теоремасы, чжун – ча әдісі.

Ключевые слова: недостижимый объект, похожие треугольники, теорема синусов, теорема косинусов, метод чжун – ча.

Чжан (丈) – шамамен 3,33 метр (10 чи).

БУ(步) – шамамен 1,66 метр (әдетте 5 чи).

Ли (里) – шамамен 500 метр (әдетте 1500 чи).

Чи (尺) – шамамен 0,333 метр немесе 33,3 см.

Цунь (寸) – шамамен 3,33 см (1/10 чи).

Қазіргі таңда мектеп оқушыларының оқуға, пәнге деген қызығушылықтары төмендеп жатқаны бойынша қиындықтарға тап боламыз. Осы қиындықтарды біз пәнді өмірдегі қызықты мәселелермен байлыныстыру арқылы шешуге тырыстық. Оқушылар сол мәселені шешу жолын іздеу, тақырыптардың қажеттілігін көрсету арқылы қызығушылықтарын оятуға болады деп ойлаймыз. Біз қызықты мәселелердің бірі геометрия курсына қатысты қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтау мәселесін қарастырдық.

Қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтау мәселесін шешу жолдарын, олардың геометрия курсында оқытылуы, тақырыптармен байланысын қарастырып көрейік. Қашықтықты есептеу мәселелері көптеген салаларда маңызы зор. Қол жететін объектілерге дейінгі қашықтықты өлшеу, бақылау, анықтау арқылы табуға болады. Ал қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықтарды өлшеу біраз қиындақтар тудыратыны бәрімізге мәлім. Себебі оларды қарап, өлшеу арқылы өлшемдерін анықтауға келмейді.

Көптеген салаларда құрылыс, өндіріс салаларында және туристік мәселелерде жиі байқалады. Бірақ қазіргі кезде бұл мәселені түрлі құрал – жабдықтарды қолдану, есептеулер жүргізу арқылы шешімі табылуда. Ерте кезеңде қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтау мәселесі жиі кездесетін мәселелердің бірі болған. Мысалы, өзенді кесіп өту, ағаштың биіктігі, шұңқырдың тереңдігі т.б. жағдайларды қарастыруға болады. Сол уақытта бұл мәселелердің шешімін алғашқы болып Ежелгі Қытай математиктері зерттеп, анықтай бастады.

Ежелгі Қытай математиктерінің ішінде Лю Хуэй өзінің «Теңіз аралы туралы математикалық трактат» еңбегінде қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтау мәселесі туралы жазған. Лю Хуэй б.з 3 ғасырдағы қытай математигі. Ол «Тоғыз кітаптағы математика» кітабына пікір қалдырған. Оның «Теңіз аралы туралы математикалық трактат» еңбегі тізім бойынша үшінші болып «Тоғыз кітап» атты математикалық кітапқа енген.

Лю Хуэй көне астрономия есептерін жердегі қашықтықтарға арналған есептерге де қолданып көруді шешіп, «чжун-ча» әдісін ойлап тапты. Бұл әдіс арқылы Лю Хуэй өзінің еңбегінде теңіз аралының биіктігі мен оған дейінгі қашықтық, шатқалдың тереңдігі, шаршыдағы қала қабырғасының ұзындығы мәселелеріне байланысты шығару жолы және жауабымен 9 есеп қарастырған. Ол бұл 9 есепті геометриялық алгебра, ұқсас үшбұрыштар, пропорция және т.б. алгебралық әдістерді қолдану арқылы шығарған. «Чжун-ча» әдісі тікбұрышты үшбұрыштар теоремасына негізделген. Лю Хуэй осы еңбегінде «Егер көлденең таяқ тік тұрса, оның көлеңкесі мен биіктігінің қатынасы әрқашан тұрақты болады» деп жазып, заттың биіктігі мен көлеңкенің ұзындығы арасындағы пропорцияны қолданған. Лю Хуэйдің бұл еңбегінде есептер өлшеу объектілеріне байланысты бірнеше түрге бөлінген. Аралдың, ағаштың биіктігі, қала қабырғасының, өзеннің ені немесе шұңқырдың, шатқалдың тереңдігі болып бөлінді.

Көбінесе трактат есептерінде Лю Хуэй объектілердің енін, қашықтығын өлшеді. Бұл әдісте Лю Хуэй өлшеу жүргізудің үш негізгі әдісін қолданды. Олар:

1. бағандардың көмегімен өлшеу – биіктіктерді өлшеу үшін қолданылатын құралдар;
2. бұрыштық өлшеу – бұрыштарды өлшеу құралдары мен транспортирді қолданды;
3. жер бедерін өлшеу – арқан немесе сызық көмегімен өлшеу, арнайы сызғыштарды пайдаланды.

Лю Хуэйдің чжун – ча әдісінде есептерді өлшеу жүргізулер арқылы берілгендерін анықтап, ізделініп отырған шаманы ұқсас үшбұрыштарды қолдану арқылы шығарылған.

Лю Хуэйдің бірінші есебі теңіз аралының биіктігі мен оған дейінгі қашықтықты анықтау. Теңіз аралы берілген. Биіктігі 3 чжанға тең болатын, бір түзудің бойында екі баған орнатты. Екі бағанның арасы 1000 буға тең. Егер бірінші бағаннан 123 бу, ал екінші бағаннан 127 бу артқа жүрсе жердегі адам аралдың шыңын көре алады. Аралдың биіктігі мен бағанға дейінгі қашықтығы қаншаға тең? Жауабы: Арал биіктігі 4 ли 55 бу, аралға дейінгі қашықтық 102 ли 150 буға тең [1].

Сурет 1. Теңіз аралы

– теңіз аралының биіктігі,

 - бағанынан аралға дейінгі қашықтық,

 – биіктігі  болатын өлшеу бағандары,

 – арал шыңы көрінетін нүктелер.

Шешу үшін  болатындай  түзуін жүргізу керек немесе  үшбұрышын  қашықтығында параллель көшіру керек.  және  тікбұрышты үшбұрыштары мен  және  үшбұрыштарының ұқсастығынан:

Лю Хуэйдің екінші есебі шатқалдың тереңдігін анықтауға арналған. Терең шатқалдың төбесінен төмен қарай бақылайық. Катет биіктігі 6 чиге тең болсын. Катеттің төбесінен шатқалдың түбін көруге болады. Ол проекция төменгі катеті 9 чи 1 цунь тең. Катеттің төменгі жағынан шатқалдың түбін 8 чи 5 цунь тең болатын қашықтықта тағы да көруге болады. Шатқалдың тереңдігі қанша? Жауабы: 41 чжан 9 чи [3].

пропорциялары шығады.

Лю Хуэйдің келесі есебі - шаршы тәріздес қаланың ұзындығы. Қаланың оңтүстігінен бақылау жүргізіледі. Қаланың шығысынан және батысынан арақашықтығын 6 чжан болатын тік бағандар орнатылды. Адамның көз деңгейінде осы бағандар арасында арқан тартылды. Шығыс бағаны мен қаланың оңьүстік – батыс бұрышы және солтүстік – батыс бұрышы бір түзудің бойында орналасқан.

Егер шығыс бағаннан солтүстікке қарай 5 чжан қашықтыққа шегінсеңіз, онда қаланың солтүстік – батыс бұрышын 2 чжан 2 чи 6 цунь қашықтығында төмен қарай орналасқанын байқауға болады. Егер батыс бағаннан солтүстікке 13 бу 2 чи қашықтыңында шегінсеңіз, онда қаланың оңтүстік – батыс бұрышын дәл батыс бағанымен сәйкес келгенін көресіз. Қаланың қабырғасының ұзындығы және қалаға дейінгі қашықтық сұралған. Жауабы: Қала ұзындығы 3 ли 43 ¾ бу, қалаға дейінгі қашықтық 4 ли 45 буға тең болады.

 және  ұқсас үшбұрыштары қарастырылған. Үшінші ұқсас тікбұрышты үшбұрыштар  және . Осыдан

Осылайша Лю Хуэй осы есептерді шығару арқылы чжун – ча әдісін түсіндіріп өтті. Бұл әдісте есептің шешімін табу үшән, екі немесе одан да көп бақылау жүргізу қажет екенін анықтады. Тікбұрышты үшбұрыштар ұқсастығы, пропорциялар арқылы қол жетпейтін объекьілерге дейінгі қашықтықты анықтауға болатыны көрсетілген.

Қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты тригонометрияның көмегімен де анықтауға болады. Жер бетіндегі нүктелердің арасындағы қашықтық, белгілі бір объектінің биіктігін, оған дейінгі қашықтықты анықтау есептерін қарастыруымызға болады. Мысалы,  нүктесінен  нүктесіне дейінгі қашықтықты анықтауымыз керек.  нүктесі қол жетпейтін объект болсын. Яғни  және  нүктелерінің арасында өзен, шұңқыр немесе басқа кедергілер бар деп есептейік. Онда біз  және  нүктелерінің арақашықтығын тікелей есептей алмаймыз. Біз бұл есепті синустар теоремасын қолдану арқылы шығарамыз.  нүктесінің жанынан  нүктесі көрінетіндей  нүктесін таңдап аламыз. Сонда бізде  үшбұрышы пайда болады. Біз  қабырғасының және ,  бұрыштарының өлшемін өлшеу құралдары арқылы анықтап алуға болады [2].

Бұрыштың өлшемдерін анықтап, синустар теоремасына салу арқылы  және  нүктелерінің арақашықтығын таптық.

Келесі косинустар теоремасын қолданып көрейік.  нүктелері қол жетпейтін объектілер ретінде қарастырайық. Енді осы екі нүктенің арақашықтығын косинустар теоремасы арқылы анықтаймыз. Бізге  қол жетпейтін объектілер берілген. Өзімізге қол жетімді аралықтан  нүктелерін таңдап алып,  кесіндісін жүргіземіз. Және

бұрыштарын өлшеп аламыз.  және  кесінділерінің ұзындықтарын синустар теоремасын қолданып, табамыз [2].

осыдан қол жетпейтін  және  объектілерінің арақашықтығы анықталды.

  Зерттеуде көрсетілген әдістер, есептеулер арқылы қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты тиімді анықтауға мүмкіндік береді. Берілген объектілерді бақылаулар, өлшеулер жүргізу арқылы, үшбұрыштар ұқсастығын және синустар, косинустар теоремаларын қолдану арқылы шығаруға болатынын көрсеттік.

Осы әдістерді, теоремаларды қолдану арқылы түрлі салалардағы, ғылыми зерттеулерде, геодезияда, астрономияда, география салаларында, мәселелердің шешімдері табылады. Бұл есептеулер қашықтықты есептеулер дәлдігін арттырып, оларды әртүрлі салаларда қолдануға мүмкіндіктер береді. Оқушылар қол жетпейтін объектілерге дейінгі қашықтықты анықтауға арналған практикалық тапсырмалар, өмірмен байланысты есептер шығару арқылы ұқсас үшбұрыштар, пропорция, синустар мен косинустар теоремасын еске түсіріп, түсініп, қолданады. Геометрия курсының басқа салалармен, өмірмен байланыстылығын көріп, ол мәселелердің шешу жолын тауып, талдау жүргізіп, есептеп көру арқылы оқушылардың белсенділіктері артып, қызығушылықтары оянды.

Әдебиеттер тізімі:

1. Применение тригонометрии к измерениям на местности и решению практических  задач // Решение косоугольных треугольников URL:https://oldskola1.narod.ru/Trigonometrija/trig007.htm
2. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М.: Наука,1980.
3. Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д., Жумабаев Р. Геометрия 9 сынып Атамұра, 2019
4. Е.А. Сорокина, Н.В. Мурзина Математика в древном Китае // Современные научные исследования: теория, методология, практика – Уфа – 2022 URL:https://perviy-vestnik.ru/wp-content/uploads/2022/08/2022-K-298-06_22.pdf#page=9
5. Мастер пути Лю Хуэй // Викичтение URL:https://math.wikireading.ru/haW4cAs3h1?ysclid=licu16mzaw466226201