ЛОГАРИФМАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН ТҮРЛӨРҮ ЖАНА АЛАРДЫ ЧЫГАРУУ

​TYPES OF LOGARITHMIC EQUATIONS AND THEIR SOLUTIONS

Tynchtyk Duishenbekov

student, Department of Mathematics and Teaching Technologies, Kyrgyz State University named after I. Arabaev

Kyrgyzstan, Bishkek

Gulmira Chokoyeva

scientific supervisor, Candidate of Pedagogical Sciences, associate professor, Kyrgyz State University,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Бул макала орто мектептин математика курсунун изилдөөсүнө кирген логарифмалык теңдемелерди чыгаруунун ыкмаларына арналган. Мында логарифмалык теңдемелерди чыгарууда функциялар, барабарсыздыктар, теңдемелер түшүнүктөрү тууралуу билимдердин болушу керек экендиги баса белгиленген. Макалада логарифмалык теңдемелердин  чыгаруу жолдору болгон потенцирлөө, жаңы өзгөрмө киргизүү жана логарифманын негизги аныктамасы аркылуу чыгаруу ыкмалары каралды. Ошондой эле логарифмалык теңдемелерди ар кандай ыкма менен чыгаруунун мисалдары келтирилген.

ABSTRACT

This article is devoted to methods for solving logarithmic equations included in the high school mathematics curriculum. It emphasizes the need for knowledge of functions, inequalities, and equations to solve logarithmic equations effectively. The article examines methods for solving logarithmic equations, including exponentiation, introducing a new variable, and using the fundamental definition of a logarithm. Various examples of solving logarithmic equations using different methods are also provided.

Түйүндүү сөздөр: логарифма, теңдеменин тамыры, логарифмалык теңдеме, ыкма, логарифманын касиеттери.

Keywords: logarithm, root of the equation, logarithmic equation, method, properties of logarithms.

Мектептин математика курсунда логарифмалык теңдемелерди  түрдүү ыкмалар менен чыгаруу математиканы окутууда чоң натыйжа  берерине ишеним зор. Логарифмалык теңдемелерди   чыгарууда теориялык билимдерди пайдалануу, ыңгайлуу ыкмаларды тандоо менен аны анализдеп, чыгаруунун жолдору да эске алынат.

Логарифмалык теңдемелер түшүнүгүн кароодон мурун, логарифма түшүнү – гүнө, тагыраак айтканда логарифманын негизги аныктамасына токтололу: Негизи  болгон  санынын логарифмасы болуп,  ти алуу үчүн  санын даражага көтөрүүгө керек болгон көрсөткүч эсептелет .

Логарифмалык теңдеме – өзгөрмөсү логарифма белгисинин астында же логарифманын негизинде болгон теңдемелерди айтабыз.  түрүндөгү же ушуга келтирилүүчү тендемелер жөнөкөй логарифмалык теңдеме болуп эсептелинет. Бул теңдемеде каалагандай сандар,  болсо белгисиз өзгөрмө чоңдук .

 (мында ) теңдештиги негизги логарифмалык теңдештик деп аталат. Ошондой эле логарифманын аныктамасы боюнча

, мындан  га ээ болобуз .

Белгисиз чоңдукту  логарифм белгисинин астында турган теңдемелер жана аны  түрүндө белгилейбиз. Анын бир гана чыгарылышы  болот .

  түрүндөгү теңдемелердин чыгарлышы.

түрүндөгү логарифмалык теңдемелер төмөнкүдөй системанын негизинде табылат:

Бул жерде берилген система (1) теңдемесине тең күчтүү теңдеме болуп эсептелинет. Логарифмалык теңдемелерди чыгарып жатканда сөзсүз түрдө теңдеменин аныкталуу областы табылышы керек, анткени логарифмада анын негизи же логарифманын аргументи терс мааниге ээ боло албагандыктан.

 Мисал:  теңдемесин чыга – ралы.

Эскертүү: Логарифмалык теңдемелерди чыгаруунун  ыкмасы (потенцирлөө жолу, логарифманын негизги аныктамасы аркылуу чыгаруу, жаңы өзгөрмө киргизүү жолу)  бар. Берилген теңдеме кайсы ыкма менен жеңил чыгарыла турган болсо, биз ошол жолду тандайбыз. Жогоруда берилген теңдемени төмөндө жөнөкөйлөтүп (2) системасын колдонуу менен чыгаралы:

Берилген теңдемени төмөндө жөнөкөйлөтөлү:

 жана  жоюшуп кете тургандыгын көрүп турабыз, аларды жоюштуруп, төмөнкүнү алабыз:

Биз  тамырын алдык ал  шартын канааттандыргандыктан теңдеменин тамыры боло алат.

Жооп:

 түрүндөгү теңдемелердин чыгарылышы.

Бул түрдөгү логарифмалык тендемелер (1) тендемеси сыяктуу эле (2) система – сындай түрдө чыгарылат, болгону бул жерде логарифманын негизинде дагы  өзгөрмөсү катышып жатат. Логарифманын касиеттерин эске алуу менен системаны түзүп

ээ болобуз.

 Мисал:  теңдемесин чыгаруу керек болсун дейли. Логарифманын негизи менен аргументин алмаштыруу касиетин колдонуп, төмөнкүгө ээ болобуз:

Бул жерден  жаңы өзгөрмөсүн киргизели.

Алынган квадраттык теңдемени чыгаруу менен, анын бир гана  тамыры жашай тургандыгына ээ болобуз.

 теңдемеси (3) түрүнө келтирилди, (4) системасын түзсөк:

Алынган тамыр, коюлган шарттарга жооп берет, демек теңдеменин тамыры

Жооп:

 түрүндөгү теңдемелердин чыгарылышы.

түрүндөгү теңдемелерди чыгарууда биз көбүнчө учурда потенцирлөө ыкмасын колдонуп чыгарабыз дагы, төмөнкү системанын негизинде теңдеменин тамырларын табабыз:

 болгондуктан, аныкталуу областын табып жатканда  же  функцияларынын кайсынысын алабыз, анын айырмасы жок, көбүнчө учурда жөнөкөй функцияны алганыбыз туура болот, анткени алар менен иштөө бир кыйла жеңил.

 Мисал:  теңдемесин чыга – ралы.

Карап көрө турган болсок, берилген теңдеме (5) теңдемесине келтирилүүчү болуп эсептелинет. Системаны түзөөрдөн мурун, жөнөкөйлөтүп алалы:

Жөнөкөйлөтүп алган соң, системаны түзөлү:

 теңдеменин эки жагын тең кубка көтөрүп

 ди алабыз

 квадраттык теңдемесин алдык,  өзгөрмөсүн киргизүү менен

 теңдемесине келебиз, тамырларын тапсак,  болот

 (анткени көрсөткүчтүү теңдеменин жообу терс сан чыгышы мүмкүн эмес).

Ошентип биз алган тамыры, шартты канааттандырат.

Жооп:

 түрүндөгү теңдемелердин чыгарылышы.

Теңдемеси (5) теңдемелери сыяктуу эле, потенцирлөө ыкмасы менен чыгарылат, бирок бул жерде логарифманын негизинде дагы өзгөрмө катышып жаткан – дыктан, системаны түзүп жатканда (3) теңдемесиндей эле ал өзгөрмөнүн дагы аныкталуу областын табабыз жана  ден айырмалуу экендигин көрсөтөбүз.

Мисал:

теңдемесин чыгаралы. Жөнөкөйлөтүүлөрдү киргизүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:

Бул теңдемеден төмөнкү системаны түзүп алабыз:

Алгач тендеменин аныкталуу областтарын табып алалы, андан соң тендемени чыгарууга өтөбүз.

 белгилөөсүн киргизсек,  бул жерден

 тамыры жооп катары кабыл алынбайт, анткени  шарты орун алган жок.

 теңдемесин чыгаралы, ал үчүн жарым бурчтун тангенсине өтүү менен тендемени жөнөкөйлөтүп алабыз:

Квадраттык теңдемени чыгаруу менен анын тамырларын алабыз

Ошентип синус теңдемелерин чыгарып, жоопторду алабыз, алар

Жооп:

Жыйынтыктап айтканда, логарифмалык теңдемелерди чыгаруу аркылуу окуучулардын математикалык түшүнүктөрүн калыптандыруунун негизги каражаттары болооруна ишенүүгө болот.

Колдонулган адабияттар:

1. А.Н.Колмогоров. Алгебра жана анализдин башталышы. Орто мектептин 10 – 11 – класстары үчүн окуу китеби. Бишкек “Мектеп” 2003.
2. К.М.Төрөгелдиев, Г.С.Чокоева, Н.К.Сагыналиева, Ж.Т.Бексултанов. Элементардык математика I бөлүк. Бишкек 2021.
3. К.М.Төрөгелдиева. Математиканы окутуу теориясы жана методикасы II бөлүк. Бишкек 2020.
4. В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. Москва “Просвещение” 1991.
5. М.И.Сканави. Сборник задач по математике. Алгебра. Москва 2009.
6. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике. Москва “Высшая школа” 1979.