ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ УРАВНЕНИЙ БЮРГЕРСА И КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРИЗА

​CONSTRUCTION OF TRAVELING WAVE SOLUTIONS FOR THE BURGERS AND KORTEWEG–DE VRIES EQUATIONS

Valeria Yudina

student, Department of Applied Mathematics,

Russian Technological University (RTU MIREA),

Russia, Moscow

Arina Tetyueva

student, Department of Applied Mathematics,

Russian Technological University (RTU MIREA),

Russia, Moscow

Yury Levashov

student, Department of Applied Mathematics,

Russian Technological University (RTU MIREA),

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены решения типа бегущей волны для уравнений Бюргерса и Кортевега – де Фриза. Изучены математические и физические модели данных уравнений, описывающие различные нелинейные явления, включая распространение акустических волн и волны в плазме. Проведён анализ автомодельных решений, построены графики зависимости параметров волн от вязкости среды и дисперсии. Приведены выводы о влиянии параметров среды на характеристики волнового процесса. Решения и визуализация выполнены с использованием системы Wolfram Mathematica.

ABSTRACT

The article examines traveling wave solutions for the Burgers and Korteweg–de Vries (KdV) equations. The study focuses on the mathematical and physical models of these equations, which describe various nonlinear phenomena such as acoustic wave propagation and plasma waves. The analysis includes self-similar solutions, with graphical representations illustrating the dependence of wave parameters on medium viscosity and dispersion. The impact of environmental parameters on wave dynamics is discussed. The solutions and visualizations are implemented using Wolfram Mathematica.

Ключевые слова: Уравнение Бюргерса, Уравнение Кортевега – де Фриза, Бегущие волны, Нелинейные волны, Математическое моделирование, Акустические волны, Вязкость среды, Дисперсия, Солитоны, Графическое моделирование, Система Wolfram Mathematica.

Keywords: Burgers equation, Korteweg–de Vries equation, traveling waves, nonlinear waves, mathematical modeling, acoustic waves, medium viscosity, dispersion, solitons, graphical modeling, Wolfram Mathematica.

Уравнение Бюргерса

является одним из эталонных нелинейных уравнений математической физики. Изначально оно было выписано как модельное уравнение для описания одномерной турбулентности, но позже было показано, что это уравнение описывает ряд других различных по своей природе физических явлений. В частности, в нелинейной акустике уравнение Бюргерса используется для описания распространения одномерных акустических волн конечной амплитуды в условиях проявления диссипации; при этом (x,t) задает колебательную скорость гидродинамических частиц как функцию координаты  и времени , а константа  характеризует вязкость и теплопроводность среды.

Уравнение Кортевега де – Фриза

сыграло в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения, особую роль. Оно описывает волны в плазме, на мелкой воде и во многих других ситуациях, где имеется простейшая нелинейность или слабая дисперсия.

1. Постановка задачи

Для уравнения Бюргерса  задача состоит в том, чтобы найти решение в виде стационарной волны , , где  – скорость волны, а далее для полученного решения построить график при помощи системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica и изучить зависимость ширины фронта ударной волны от изменения вязкости .

Для уравнения Кортевега де – Фриза  необходимо также найти решение в  виде  уединённой  бегущей  волны   ,  где  –  скорость, далее для  полученного решения при помощи системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica построить графики, отражающие зависимость высоты волны от скорости, также вида волны от изменения дисперсии.

2. Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Оно названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса. Данное уравнение

где  – скорость течения жидкости, а коэффициент  – это её кинематическая вязкость, представляет собой модель одномерной гидродинамики. В общем виде уравнение Бюргерса записывается так

Для данного уравнения найдем решение в виде стационарной волны , , где  – скорость волны, принимающее на бесконечности предельные значения:

,

Подставим  в уравнение (1):

Получим дифференциальное уравнение второго порядка. Проинтегрируем его один раз, получая уравнение:

Подставим граничные условия при  (тогда функция  и производная  обращаются в нуль) и при   ( , ). Тогда получим, что C₁  = 0 и 

Подставим полученные значения C₁ и  v в уравнение (2):

Разделим полученное уравнение (3) на  и сделаем замену  (тогда

):

Проинтегрируем полученное уравнение (4):

, 

Получим итоговое решение уравнения:

Построим график:

Рисунок 1. Фронт бегущей волны Бюргерса при разных значениях

Из графика видно, что ширина фронта формирующейся бегущей волны становится больше, если увеличить вязкость.

3. Уравнение Кортевега – де Фриза

Уравнение Кортевега – де Фриза

описывает волны в плазме, на мелкой воде и во многих других ситуациях, где имеется простейшая нелинейность или слабая дисперсия. Для данного уравнения найдем решение в виде стационарной волны , где  – скорость волны, принимающее на бесконечности предельные значения:

,

Подставим f в уравнение (5), получая уравнение третьего порядка:

Проинтегрируем полученное уравнение два раза:

,

Подставим граничные условия при  и  (тогда f = f′ = f′′ = 0). Тогда получим, что  и .

Подставим полученные значения  и  в уравнение (6):

Получаем совокупность из двух уравнений:

,  .

Решая первое уравнение, получим:

Делая замену , вычислим интеграл:

Получаем итоговое решения уравнения:

Если , то преобразуем уравнение:

Раскрываем модуль:

Постепенно преобразуем полученное выражение (7):

;

;

;

;

.

Следовательно, функция  равна:

Решение называется простым солитоном, где ширина, амплитуда и скорость волны задаются одним параметром

Построим график полученного решения (8), который отражает, что с ростом скорости уединенная волна становится более узкой и высокой:

Рисунок 2. Солитон уравнения Картевега – де Фриза при разных значениях параметра

Также построим график полученного решения (8), который отражает, что с увеличением дисперсии ширина фронта уединенной волны становится больше:

Рисунок 3. Солитон уравнения Картевега – де Фриза при разных значениях параметра ε

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения курсовой работы были найдены решения уравнений вида бегущей волны Бюргерса и Кортевега – де Фриза. Достигнутые результаты решений уравнений наглядно представлены при помощи системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Список литературы:

1. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука. Физматлит, 2000. 272 с.
2. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004. 238 с.
3. Шапиро Д.А. Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотики. Новосибирск: КТФ НГУ, 2004. 123 с.