СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ПОЛОСТИ, ИМЕЮЩЕЙ ФОРМУ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

АННОТАЦИЯ

Рассматривается математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, когда отсутствует электрическое поле. Рассмотрен предельный случай замены пористой среды жидкостью.

Исследованы различные частные случаи как для симметричных m=0, так и для несимметричных m≥1 возмущений. Получено дисперсионное соотношение для краевой задачи. Найдены выражения для частоты колебаний волн.

Работа носит теоретический характер, однако ее можно применить в технологических процессах.

Ключевые слова: дисперсионное соотношение; частота колебания волн; симметричные возмущения; несимметричные возмущения; пористая среда.

Рассматривается математическая модель поверхностных стоячих волн в слое жидкости на пористом основании, находящейся в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). Электрическое поле отсутствует. Система координат выбирается следующим образом: ось  направлена вертикально вверх против вектора  ускорения свободного падения; – твердая поверхность, ограничивающая снизу пористый слой ;  – поверхность раздела пористого слоя и свободной жидкости;  – невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область . Оси  и  лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды и одновременно на двух боковых поверхностях. Стенки параллелепипеда заданы уравнениями , ; , . Над поверхностью жидкости находится воздух. Номерами 1, 2 в необходимых случаях обозначаются величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости соответственно.

Рисунок 1.

Уравнение движения жидкости к пористой среде [1, 4]:

Здесь  – плотность жидкости, Г – пористость среды,  – давление,  – макроскопическая скорость фильтрации,  – вязкость, К – коэффициент проницаемости.

Уравнение движения свободной жидкости в предположении, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины [2], запишем в линейном приближении

Здесь  – скорость свободной жидкости.

В предложении потенциальности движения из уравнений (1), (2) следует: , , где   и  – потенциалы скорости, удовлетворяющие уравнениям Лапласа

Система граничных условий в линейном приближении имеет вид [4]:

1.  при  (на дне),
2.  или  при  (на границе пористой среды и жидкости);

3. Условия на вертикальных боковых стенках параллелепипеда:

       область 1:

         при ,       при ;

     при ,        при ;

         при ,     ;

     при ,       при ;

4.  при ;
5.  при  (на свободной поверхности жидкости).

Форма свободной поверхности жидкости определяется уравнением . Давление запишем в виде , , где ,  – равновесные давления; ,  – возмущения давлений. Для возмущения давлений из (1) и (2) следует

Решения уравнений (3) ищем в виде стоячих затухающих волн методом разделения переменных

,

где  – амплитуда,  – декремент,  – коэффициент затухания волны,  – частота волны.

        Подставив  в уравнение (3), находим

или

Обозначим , где  – постоянная. Тогда . Эти дифференциальные уравнения для  имеют решения:

       .

Из (6) следует

.

Функции  ищем методом разделения переменных в виде . Тогда из уравнений  следует

.

Отсюда получим два уравнения

где  и  – новые постоянные такие, что =.

Общие решения уравнений (7) имеют вид

,

где , ; ,  в силу граничного условия 2 в системе (4).

Из граничных условий 3 системы (4) следует:

 при  и.

Отсюда находим , , и если положить , , то согласно (8) будет

,

.

Причем, в силу граничных условий (9), должно быть

Из уравнений (10) следует, что  и  имеют бесконечное множество значений:

Тогда из равенства = получим значения для постоянной :

Таким образом, получаем бесконечное множество частных решений вида

,

где   и  находят по формулам (11).

Решения (12) удовлетворяют граничным условиям (4).

Заменяя в граничном условии 4 системы (4) давления  и  выражениями (5), и подставляя  и  из (12) в граничные условия 1, 2, 4, 5 системы (4), получим однородную систему четырех алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов

, , , .

,

,

.

Здесь ,  и  находятся по формулам (11).

Приравнивая к нулю определитель системы (13), получим дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом волны  и волновым числом  :

+

Следовательно, величины  и  могут принимать только дискретные значения, соответствующие значениям .

В частном случае, при Г→1, h/К→0 (замена пористой среды жидкостью), первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (14) следует дисперсионное уравнение для стоячих волн в слое жидкости глубиной  в полости, имеющей форму параллелепипеда, но без пористой среды [3]:

.

Вводя обозначение , получим

,     .

Учитывая (13), находим также

.

С учетом найденных выражений , , можно записать выражение для  в (12).

Функция , определяющая форму свободной поверхности жидкости, находится в условиях [3]

,

откуда

,

где ,  приведены в (15).

Все рассматриваемые физические величины следует понимать как действительные  части от соответствующих комплексных выражений.

Список литературы:

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости – М.: Наука, 1972. – 392 с.
2. Ландау Т. В., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10 т. Т. VI. Гидродинамика. – М.: Физмалит, 2006. – 736 с.
3. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. – М.: Наука, 1997. – 816 с.
4. Столяров И. В., Токтаров Н. Г. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Известия АН СССР. МЖГ. – 1987. – №5. – С. 183 – 186.