МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ В ЭКОЛОГИИ

Рассматривается матричный способ моделирования  динамики популяций в экологии, случаи их применения и  практическая направленность , а также его преимущества перед другими математическими моделями  и его недостатки. Исследованная  классическая матричная модель  Лесли и матричная  модель  демографии человека. Выявлены  сходства представленных моделей, связанные с общим происхождением , и  различия , появляющиеся в результате сложности  описываемых экологических динамических  систем.

В связи с развитием технологий возникаю многочисленные проблемы, которые требуют незамедлительного и быстрого анализа для оценки как окружающей среды, так и роста численности населения. Процессы происходящие в природных сообществах сложны, но их возможно прогнозировать при помощи математических моделей. Эти модели являются очень ценными , так как их очень легко использовать для решения крупных экологических проблем. Преимуществом данного типа моделирования является то, что появляется возможность сравнения, которые можно сопоставить с результатами эксперимента. Но в то же время математические модели учитывают только несколько факторов воздействия на объект исследования, что затрудняет  прогнозирование. В свою очередь, матричные модели могут давать довольно точные прогнозы о динамике развития популяции. Это позволяет прослеживать численность особей и динамику развития в отдельно взятой группы. Также данный метод может быть применим к не только к природными сообществам, но и для  описания демографической картины.

Впервые  матричные модели были предложены Лесли в 1945 году и используются по сей день. Данный способ моделирования нашёл своё применение в таких отраслях науки как экология, демография, физиологии, биофизике, экономике.

В основе предложенных методов лежит понятие популяционной системы, описывающей основные взаимосвязи  между представителями той или иной группы особей , проживающих на одной территории , имеющих единое происхождение и свободно скрещивающихся . Матричный способ затрагивает возрастную структуру наблюдаемого объекта. Это даёт возможность спрогнозировать темпы развития группы организмов , так как способность к размножению особи приобретают по достижению определённого возраста.

Для моделирования чаще всего прибегают к матричному способу Лесли, так как данный способ может  дать прогноз по тенденции развития численности популяции на несколько поколений вперёд. Но из-за скудности  используемых для предсказания факторов и из-за особенностей каждой отдельной группы для каждой из них необходимо составлять новый матричный порядок. Всё же данный метод пользуется популярностью из-за простоты использования и быстрого получения прогнозов, которые сравниваются с биологическими моделями.

Классическая матричная модель Лесли.

Относительно простой и надёжный способ моделирования предполагает наличие неограниченные ресурсы. Популяция содержит несколько возрастных групп , которые будут обозначены как N.  Размножение происходит  только в определённый отрезок времени представленных как ,…,. Тогда в каждый определённый момент времени  можно записать вектор- столбцом:

=

где вектор  характеризует сообщество в следующий момент времени, например через месяц или год, и он имеет связь с вектором  через матрицу перехода L:

=

Следующим шагом будет установление группы способной производить потомство. Их будут обозначать k, k+1 ,..., k + p.

За определённый отрезок времени особи  j-й группы переходят в группу j+1. В это же время у групп k, k+1 ,..., k + p будет появляться потомство , часть которого по тем или иным причинам погибает. И всё потомство ,которое появляется на свет в эту единицу времени переходит в первую группу.

Вторая компонента будет являться результатом двух произошедших процессов: один из которых результат перехода особей из одной группы в другую, а второй в результате гибели некоторого количества особей .В результате этого вторая компонента будет равна только части численности . Так же существуют следующие коэффициенты: a-коэффициент рождаемости и b- коэффициент смертности.

Тогда если представить вектор численности  возрастных групп в отрезок времени в следующем виде:

=

А L является матрицей вида:

Если рассмотреть эту матрицу , то можно заметить ,что по диагонали располагаются нули, а под диагональными элементами  коэффициенты выживания , обозначающие численность особей появившихся в определённых группах, а остальные элементы матрицы равны нулю.

Следовательно, если представить динамику популяции в виде следующих выражений:

Из этого можно заключить, что при известном значении  структуры  L и начального состояния популяции , можно вычислить динамику развития популяции в любую единицу времени. Само значение L даёт скорость, при стабилизированной структуре сообщества.

Матричные модели демографии.

Любая биосферная модель является совокупностью множества биогеоценозов, где каждый компонент занимает свою экологическую и трофическую ниши. В свою очередь человек и его общество в целом так же является  составляющей системы популяций и имеет ряд собственных особенностей.

Основными факторами влияющими на динамику численности населения являются:

1.Обеспеченость пищей на душу населения S;

2.Доля белковой пищи в рационе R;

3.Уровень медицинского обслуживания M;

4.Генетический груз исследуемой популяции G;

5.Половая структура населения, которая как правило состоит из трёх групп : от 0 до 14, от 15 до 64, от 65 и старше, так же включается четвёртая группа   в которую входят инвалиды и недееспособные лица из всех вышеперечисленный  групп .Если описать матричным уравнением динамику населения за временной отрезок  , то возрастная структура будет выглядеть :

Где D является матрицей в которой учитываются вышеперечисленные факторы.

d- соответствует вышеперечисленным факторам , первая цифра является фактором , например S-1, R-2 и так далее ;а вторая –  возрастная группа ;

Диагональные элементы  определяются следующим способом:

,i=1,4;

-коэффициент смертности в i-й группе, которая определяется:

Динамика численности населения  некоторого региона i  определяется через рождаемость и смертность:

В заключение можно сделать вывод на  основании рассмотренных выше примеров , а именно классической матричной модели Лесли и матричной модели демографии отдельного региона, можно сделать вывод о том ,что оба способа моделирования  популярны для быстрого и относительно точного прогнозирования динамики развития популяции . Оба способа хороши тем , что они позволяют использовать уже имеющиеся данные и на их основе делать прогнозы .но так же надо отметить и разницу между двумя методами: демографическая модель включает в себя и вне возрастную группу , что способствует более точному прогнозу.

Список литературы:

1. Авдин В.В.,Математическое моделирование экосистем,учеб. пособие . Издательство ЮУрГУ, 2004г.[с.62-66]
2. Берешко И.И, Бетин А.В, Математические модели в экологии, учеб. Пособие. Издательство «ХАИ»,2006г.[с.14-17]
3. Бондарчук С.С, Перевозкин В.П ,Математическое моделирование популяционной экологии, стр.[65-68]
4. Дулетов В.И,  Лескова О.А , Майров И.С., Системная экология, [стр.4-7]
5. Ш.Х. Захаров ,Введение в математическую экологию. Издательство Казанский федеральный университет, 2010г. [стр.19]