ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ: СУЩНОСТЬ, ЗНАЧЕНИЕ, ВЫЧИСЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются сущность, значение и вычисление пределов и производных функций. Также приведены виды неопределенностей и рассмотрены правила дифференцирования.

Ключевые слова: предел функции, число, последовательность, неопределенности, производная, дифференцирование, аргумент, формула, решение, знаменатель, правило, числитель.

Предел.

Предел функции является одним из основных понятий математического анализа. Непрерывность, производная, интеграл – не определить без помощи предела. Функцией называют математическое правило, получающее на выход число и возвращающее какой-то результат. Функция записывается:

y = f (x)

f — функция, x — аргумент функции, y — результат выполнения функции.

Пределом функции выступает в качестве значения, к которому стремится функция, в момент приближения её аргумента к определённому значению. Запись предела функции имеет вид:

lim f(x).

x→x0

Предел может быть конечный и бесконечный. При равенстве предела конкретному действительному числу, его считают конечным пределом. В случаях, когда предел равен бесконечности, его называют бесконечным. Бывают случаи, когда невозможно определить конечное или бесконечное значение, подразумевается отсутствие существования такого предела.

Для вычисления предела, в большинстве случаев стоит только подставить в функцию стремящееся к аргументу функции значение. При отсутствии решения при подстановке числа, используются разные методы вычисления: упрощение выражений при помощи деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и разные другие приёмы.

Правило Лопиталя в пределах: если в пределе есть неопределенность, требуется брать производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

От неопределенностей не всегда просто избавляться. Неопределённости бывают разных видов.

Неопределённость ∞/∞: бесконечность, делёная на бесконечность. Это неопределённость, потому что следствием деления может быть любое число. Исходя из этого, нам нужно избавиться от неопределенности. Надлежит разделить числитель и знаменатель на переменную в старшей степени. Далее, при подстановке бесконечности вместо х, дроби с х в знаменателе преобразуются в 0. Таким образом, чтобы раскрыть неопределённость ∞/∞ в многочленах, требуется разделить числитель и знаменатель на переменную в старшей степени.

Неопределённость 0/0: ноль, делёный на ноль. Это неопределённость, которая вероятно равняется любому числу. Для того чтобы избавиться от данной неопределенности следует разложить числитель и знаменатель дроби на множители. Если подставить в функцию числитель и знаменатель, сократим дробь на (x − 2). Затем, чтобы найти предел функции при х, стремящемся к 2, надлежит подставить в формулу х = 2.

Производная.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование.

Процесс получения новой функции f ' (x) из исходной функции f(x) называется дифференцированием.

Нахождение дифференциала функции безусловно связано с теорией пределов и состоит из трех этапов:

1. Выбирается приращение x для аргумента х. Определяем соответствующее приращение функции y = f(x+x) -f(x).
2. Составляется отношение приращения функции к приращению аргумента
3. Находится предел данного отношения. Аргумент x является постоянным, приращение x бесконечно малое, стремящееся к 0.

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования.

Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных:

(f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных:

(f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x).

Второе правило дифференцирования:

(cf(x))'=cf ' (x)

Третьему правилу дифференцирования соответствует: Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

(f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)

Четвертое правило дифференцирования звучит так: производная частного равна производной числителя, умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Список литературы:

1. Предел и производная. URL: https://studfile.net/preview/652309/page:2/ - Текст: электронный.
2. Пределы функции: что это и как их вычислить. URL: https://skillbox.ru/media/code/predely-v-matematike-chto-eto-takoe-i-kak-ikh-reshat/ - Текст: электронный.
3. Пределы в математике: объяснение, теория, примеры решений. URL: https://zaochnik.ru/blog/predely-dlya-chajnikov-teoriya-primery-reshenij/ - Текст: электронный.
4. Предел. Большая российская энциклопедия. URL: https://bigenc.ru/c/predel-v-matematike-6d5ab8 - Текст: электронный.