ДЕКАРТТЫҚ ЖӘНЕ ПОЛЯРЛЫҚ КООРДИНАТАЛАРДАҒЫ ЖАЗЫҚ ФИГУРАЛАРДЫҢ АУДАНДАРЫН ЕСЕПТЕУ

​АННОТАЦИЯ

Бұл мақалада декарттық және полярлық координаталардағы жазық фигуралардың аудандарын есептеу жолдары қарастырылады. Сонымен қатар бірнеше мысалдар келтіріледі.

Кілт сөздер: координата, жазық фиугалар, аудан.

Егер  кесіндісінде анықталған  үздіксіз функция берілген болса, онда геометриялық тұрғыдан белгілі бір анықталған интеграл қисық сызықты трапеция деп аталатын ауданды білдіреді.

                                                                                      (1)

 негізі бар қисық сызықты трапецияың төменгі жағы қисығымен шектелсін (10-сурет), онда симметрия тұрғысынан мынаны аламыз:

                                                                                 (2)

1. сурет. Қисық сызықты трапеция

Кейбір жағдайларда ізделінді фигураның ауданын есептеу үшін оны екі немесе одан да көп қисық сызықты трапецияның сомасына немесе айырмашылығына бөлу қажет (3) немесе (1), (2) формулаларын қолдануға болады:

2. сурет. қисық сызықты трапециясы

(3)                                          (3)

3. сурет.  қисықтарымен шектелген фигура

                                                                          (4)

1-мысал..  және   сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешуі:.   – парабола. Демек оның төбесін және координата осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтаймыз.

   ,   ,

Егер болса , онда , яғни төбесі  нүктесі болады.

-түзу сызық.

Парабола мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерінің абсциссаларын анықтаймыз:

немесе

Бізге керек облыстың (4- сурет)  ауданын табу үшін (4) формуланы пайдаланамыз:

4. сурет.және  сызықтарымен шектелген фигура

Жазықтықтағы кез келген нүктенің орналасуы бір мәнді екі санмен  анықталсын, мұндағы .

 функциясы  ,  кесіндісінде анықталған теріс емес, үздіксіз функция болсын.

Қисық сызықты үшбұрыш ОАВ ретінде түсіндіруге болатын нүктелер жиынын қарастырайық: (5 – сурет)

5. сурет. Қисық сызықты үшбұрыш

Қисық сызықты үшбұрыштың ауданын есептеу үшін бұл үшбұрышты қарапайым қисық сызықты үшбұрыштарға бөлеміз (16- сурет):

6. сурет. Қарапайым қисық сызықты үшбұрыштарға бөлінген үшбұрыш

Қарапайым қисық сызықты үшбұрыштарды  тік бұрышты үшбұрыштармен алмастырамыз

Осы үшбұрыштардың биіктіктерін  тең етіп қоямыз. Негіздері сәйкесінше .

Сонда қарапайым k үшбұрышының ауданы мынаған тең болады:

S қисық сызықты үшбұрыштың ауданының   жуықталған шешімін кесіндідегі  функциясының интегралдық сомасы ретінде қарастырсақ болады. Белгілеу енгіземіз: . Мұндағы  - бұл бөлшектеудің ұсақталуы,  . Егер

өрнегін  болғандағы шек ретінде алсақ, сонда қисық сызықты үшбұрыштың ауданы мынаған тең болады:

.

Сонымен полярлық координатадағы жазық фигураның ауданы мынаған тең:

.

Мысал 1. Қисықпен (кардиоидпен) шектелген фигураның ауданын есептеңіз:

Шешуі: кардиоиданың графигін сызамыз

Көріп отырғанымыздай, кардиоида  Ох оське қатысты симметриялы сызықты білдіреді.Сонымен  ауданы мынаған тең:

Әдебиеттер тізімі:

1. Абликсанова Ю. Понятие площади. Площадь квадрата // Математика в школе . – 2002 . – No 4 . – С. 23-24.
2. Бурмистрова Т.А. Геометрия. Сборник рабочих программ. 7-9 классы. — М.: 2011. – 95 с.
3. Вальдман И. Методы и приемы решения учебных задач. Геометрия. 8 класс // Математика в школе . – 1999 . – No 39 . – С. 31-32.