ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КВАНТОВОЙ ХИМИИ

​АННОТАЦИЯ

Статья посвящается уравнению Шредингера, которое является основным уравнением квантовой механики, описывающим поведение микрочастиц, таких как электроны и атомы. В работе исследуется дифференциальное уравнение, которое устанавливает связь между энергией частицы и ее волновой функцией. Волновая функция, или волна вероятности, представляет собой математическое описание вероятности обнаружить частицу в конкретном состоянии или месте. Решения уравнения Шредингера, известные как волновые функции, позволяют предсказывать и анализировать свойства и поведение частиц в квантовой области. Это уравнение имеет большое значение не только в физике, но и в химии, поскольку позволяет понять химические реакции и стабильность молекул на основе квантовых свойств частиц.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, квантовая химия, волновая функция.

Что из себя представляет уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера играет важную роль в квантовой механике, которая занимается изучением свойств атомов и субатомных частиц. Квантовая механика известна как раздел физики, посвященный изучению очень малых масштабов, и уравнение Шредингера представляет собой математическое описание двойного частицеобразного и волнообразного поведения атомных и субатомных частиц. Этот известный как корпускулярно-волновой дуализм часто рассматривается как одна из самых загадочных особенностей квантовой механики.

Уравнение Шредингера представляет собой основополагающее квантовомеханическое уравнение, которое связывает волновую функцию системы с ее энергией. Это линейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое использует оператор, называемый гамильтонианом, для определения энергии системы. Гамильтониан состоит из двух частей: кинетической и потенциальной энергии системы. Для каждой системы, которую мы рассматриваем с помощью гамильтониана, он будет иметь разные значения. Уравнение Шредингера применяется для вычисления энергии и волновых функций квантовой системы, а также служит основой для понимания атомов и молекул.

Главное уравнение нерелятивистской квантовой механики, известное как общее или временное уравнение Шредингера:

                                           (1)

где   - постоянная Планка;

i= – мнимая единица;

m – масса частицы;

 - волновая функция, являющаяся функцией координат и времени (x, y, z, t);

U=U(x, у, z, t) - потенциальная функция, определяющая силу, действующую на частицу

 - оператор Лапласа.

Данное уравнение позволяет определить волновую функцию Ψ(x, y, z, t) как функцию координат и времени. Таким образом, оно выводит плотность вероятности обнаружения частицы в любой точке пространства в любое время, предоставляя полное описание квантового состояния частицы, движущейся во внешнем поле.

Уравнение Шредингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных для волновой функции y(x, y, z, t). При этом на волновую функцию накладываются следующие условия:

1. Она должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2. Производные   должны быть непрерывными;

3. Функция должна быть интегрируема.

В квантовой механике существует класс задач о движении частицы в силовых полях, в которых потенциальная функция U(х, у, z, t) не зависит явно от времени, то есть U(x, y, z, t)≡U(x, y, z). Эти силовые поля называются стационарными, и в этом случае потенциальная функция U(x, у, z) представляет собой потенциальную энергию частицы. Задачи о движении частиц в таких полях называются стационарными задачами квантовой механики, а соответствующие состояния - стационарными состояниями. Можно показать, что волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет определенный вид:

       (2)

где Е - полная энергия частицы.  Подставляя волновую функцию (2) в уравнение (1) и учитывая связь между ω и Е, получаем уравнение для волновой функции y(x, y, z).

Из уравнения (2) следует, что волновая функция стационарного состояния изменяется гармонически во времени с частотой ω = E/ħ. Координатную часть волновой функции y(x, y, z) в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется из уравнения (2).

                                               (3)

Это уравнение представляет собой уравнение Шредингера для стационарных состояний. Его решения - функции ψ(x, y, z) и соответствующие значения энергии E - зависят от определенной формы потенциальной энергии U(x, y, z). Уравнение Шредингера для стационарных состояний (3) может быть переписано в следующем виде:

                                         (4)

Отметим, что в стационарных состояниях плотность вероятности местонахождения частицы w не меняется с течением времени. Это также означает, что вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин также не зависят от времени в таких состояниях.

Таким образом, состояние квантово-механической системы описывается функцией состояния или волновой функцией y, которая является функцией координат системы частиц и времени. Функция состояния изменяется со временем в соответствии с зависящим от времени уравнением Шредингера, которое для одночастичной трехмерной системы равно уравнению (1).

Теория относительности

Уравнение Шредингера не учитывает релятивистские эффекты, в отличие от волнового уравнения, оно сохраняет инвариантность относительно преобразования Галилея, но не относительно преобразования Лоренца. Для того, чтобы учесть теорию относительности, необходимо радикально изменить физическую картину.

Наивное обобщение уравнения Шредингера использует релятивистское соотношение масса-энергия (в натуральных единицах):

для получения дифференциального уравнения, которое является релятивистски инвариантным, но второго порядка по y, и поэтому не может быть уравнением для квантового состояния.

Это уравнение также обладает тем свойством, что существуют решения как с положительной, так и с отрицательной частотой, решение плоской волны подчиняется уравнению:

которое имеет два решения, одно с положительной частотой, другое с отрицательной частотой. Это катастрофа для квантовой механики, потому что это означает, что энергия внизу не ограничена.

Более сложная попытка решить эту проблему использует волновое уравнение первого порядка, уравнение Дирака, но опять же существуют решения с отрицательной энергией. Чтобы решить эту проблему, важно перейти к многочастичной картине и рассматривать волновые уравнения как уравнения движения для квантового поля, а не для волновой функции.

Причина в том, что теория относительности несовместима с картиной одной частицы. Релятивистская частица не может быть локализована в небольшой области без того, чтобы число частиц не стало неопределенным. Когда частица локализована в прямоугольнике длиной L, импульс неопределен на величину, примерно пропорциональную h / L, согласно принципу неопределенности. Это приводит к энергетической неопределенности hc/L, когда |p| достаточно велико, так что массой частицы можно пренебречь. Эта энергетическая неопределенность равна массе-энергии частицы, когда

Это известно как длина волны Комптона. Ниже этой длины невозможно локализовать частицу и быть уверенным, что она останется единственной, поскольку неопределенность энергии достаточно велика, чтобы произвести еще больше частиц из вакуума.

Поскольку знание волновой функции и, следовательно, волны вероятности, говорит все, что нужно знать обо всех возможных характеристиках, событиях и конфигурациях, связанных с частицей, можно вывести всю химию из знания этого одного уравнения. Так как химия - это не что иное, как реакции, протекающие между атомами, молекулами, и их стабильность, знание их волновой функции расскажет все об их возможных реакциях и свойствах, поскольку они настолько малы, что правила квантовой механики нельзя игнорировать, они подпадают под действие уравнения Шредингера.

Заключение

Использование уравнения Шредингера для описания поведения электрона в атоме позволяет получить орбиталь - пространственное распределение, где с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон. Уравнение Шредингера играет ключевую роль в предсказании и расчете поведения частиц в квантовой области. Оно представляет собой дифференциальное уравнение, связывающее энергию частицы и ее вероятность нахождения в определенных местах - это известно, как распределение вероятностей. Знание волновой функции и соответствующей вероятности позволяет получить полную информацию о всех возможных характеристиках, событиях и конфигурациях, связанных с частицей. Более того, все химические свойства и реакции между атомами и молекулами могут быть выведены из этого единственного уравнения. Так как правила квантовой механики играют ключевую роль на микроуровне, знание волновой функции позволяет предсказать все возможные реакции и свойства химических систем.

Список литературы:

1. Аджиев С.З., Веденяпин В.В. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Каца // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51. № 11. С. 2063–2074.
2. Барли К. и др. Открытие релятивистского уравнения Шрёдингера //Успехи физических наук. – 2022. – Т. 192. – №. 1. – С. 100-114.
3. Батанов М.С. Качественно новое понимание структурной организации материи (вывод уравнения Шредингера). Проблемы технической эксплуатации и совершенствования РЭО: Межвузовский сб. науч. тр. – М.: РИО МИИГА, 1990. – С. 145–156.
4. Веденяпин В. В. и др. Уравнение Шрёдингера как самосогласованное поле //Доклады Академии наук. – Федеральное государственное бюджетное учреждение" Российская академия наук", 2018. – Т. 480. – №. 3. – С. 270-272.
5. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Уравнение Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности //Доклады Академии наук. – Российская академия наук, 1976. – Т. 229. – №. 1. – С. 15-18.