ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ

DIFFERENTIAL EQUATIONS IN CHEMICAL THERMODYNAMICS

Olga Yavnova

Student, Faculty of Chemistry and Biology, Orenburg state University,

Russia, Orenburg

Alexandra Kidyaeva

Student, Faculty of Chemistry and Biology, Orenburg state University,

Russia, Orenburg

Natalia Kulish

Ph.D. of Pedagogical Sciences, associate professor, Orenburg state University,

Russia, Orenburg

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена детальному анализу дифференциальных уравнений в химической термодинамике. В статье объясняются термодинамические процессы, свойства состояния и перехода. В ней также рассматриваются первый и второй законы термодинамики, энергия Гиббса и Гольмгельца. Упоминаются энтальпия, энтропия, теплоемкость, а также тепловые коэффициенты теплового расширения, изотермического сжатия и адиабатический коэффициент. Авторы дают всесторонний обзор связи термодинамики и дифференциальных уравнений в химии.

ABSTRACT

The article is devoted to a detailed analysis of differential equations in chemical thermodynamics. The article explains thermodynamic processes, state and transition properties. It also discusses the first and second laws of thermodynamics, Gibbs and Holmgelz energy. Enthalpy, entropy, heat capacity are mentioned, as well as thermal coefficients of thermal expansion, isothermal compression and adiabatic coefficient. The authors provide a comprehensive overview of the relationship between thermodynamics and differential equations in chemistry.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, термодинамика.

Keywords: differential equation, thermodynamics.

Химическая термодинамика исследует химические и физические процессы, происходящие в различных фазах вещества в ходе перераспределения компонентов системы. Она изучает их с помощью общих законов о взаимопревращениях теплоты и различных видов работы и энергии. Под термином «химическая термодинамика» подразумевается совокупность теоретических основ, связанных с теорией химических и фазовых равновесий, фазовых переходов, химических превращений в системах, которая учитывает химические превращения.

При обсуждении системы, ключевым является ее состояние. Под этим термином понимается совокупность таких физических и химических характеристик системы, как ее объем, давление и температура. Также сюда можно отнести такие характеристики, как химический состав, химические свойства и многое другое. Эти параметры определяют особенности и свойства системы. Одна и та же система может иметь разные состояния, каждое из которых определяется набором термодинамических параметров.

Термодинамический процесс — это любое изменение в системе, которое приводит к изменениям, по меньшей мере, одного из ее термодинамических параметров. Изменение системы, при котором начальное и конечные состояния системы совпадают, называется циклическим процессом.

Свойства системы, которые остаются неизменными в результате выполнения термодинамического цикла, называются свойствами состояния (пример: энтальпия H, энтропия S, энергия Гельмгольца F и Гиббса G, внутренняя энергия U). Свойства функций состояния описываются следующим образом:

1) бесконечно малое изменение функции состояния f математически выражается полным дифференциалом ;

2) При переходе между состояниями 1 и 2, изменение функции f зависит только от этих состояний, значит:

3) Функция состояния не трансформируется в результате любого циклического. Из этого следует:

Свойства системы, такие как теплота Q и работа A, которые зависят от пути перехода, обозначаются свойствами перехода. Бесконечно малое изменение этих свойств не является полным дифференциалом и математически обозначается .

Закон сохранения энергии в термодинамике, известный как первое начало, объясняет, что работа, производимая термодинамической системой, может быть обусловлена лишь теплом или другими формами энергии. Этот закон подчеркивает, что внутренняя энергия системы U является однозначной функцией ее состояния и изменяется только под воздействием внешних факторов:

где  – количество теплоты, Дж;

 – изменение механической работы, Дж;

U – внутренняя энергия, Дж;

P – давление, Па;

V – объём, л.

Термохимия, изучение теплоёмкостей веществ, тепловых эффектов реакций и физико-химических процессов, базируется на первом начале термодинамики. Этот принцип находится в основе уравнения Кирхгофа и закона Гесса.

Второе начало термодинамики представляет собой закон об энтропии: энтропия, подобно внутренней энергия U, является функцией состояния, присущей любой равновесной системе, и неуклонно не убывает при любых процессах в изолированных системах. Это правило обусловлено тем, что две рассматриваемые в термодинамике формы передачи энергии (работа A и теплота Q) не являются равноценными: работа A может непосредственно пойти на увеличение любого вида энергии, в то время как теплота Q без предварительного преобразования в работу может только увеличивать внутреннюю энергию системы.

Через неравенство Клаузиуса выражается второе начало термодинамики в виде приращения энтропии:

где T – абсолютная температура, К.

Замкнутый циклический процесс, в ходе которого система получает или отдаёт определенное количество тепла при соответствующих температурах, представлен в виде интеграла, или , где S – энтропия, произведённая необратимыми процессами внутри замкнутой системы, Дж/К. Обратимые процессы представлены знаком равенства.

Путем объединения первого начала термодинамики с равенством Клаузиуса и выражения дифференциала внутренней энергии, мы можем получить следующий результат:

Полный дифференциал функции состояния

Дифференциальные уравнения термодинамики выражаются в виде системы уравнений, которые были получены в ходе совместного применения первого и второго начал к равновесным процессам. Эти уравнения применимы для любых простых тел, имеющие два независимых параметра состояния. В результате решения общих дифференциальных уравнений становится возможным получить частные решения, которые устанавливают связь между функциями состояния. В случае если имеются данные двух параметров состояния, можно вычислить другие и найти уравнение состояния исследуемого тела. В свою очередь, при наличии известного уравнения состояния возможно установить связь между физическими свойствами рабочего тела (например, значение удельной теплоемкости).

Вычисление значений отдельных физических величин реального газа (удельные энтальпия, теплоемкость, энтропия) и составление термодинамических таблиц является наиболее распространенным способом использования дифференциальных уравнений.

Энтальпия — это то количество энергии, которое возможно преобразовать в теплоту при определенных давлении и температуре.

Изменение энтальпии с температурой для 1 моля вещества является мольной теплоемкостью при постоянном давлении:

Следовательно,

В термодинамике широко используют термические коэффициенты, важнейшими из которых являются:

– коэффициент термического расширения

– коэффициент изотермического сжатия

– коэффициент изохорного изменения давления

где и  - объем и давление в точке отсчета соответственно

– адиабатический (и одновременно изоэнтальпийный) коэффициент

Джоуля – Томсона

Энергия Гиббса показывает, как изменяется энергия химической реакции в зависимости от давления и температуры, а также дает ответ на вопросы о том, возможно ли протекание химической реакции; это термодинамический потенциал такого вида:

Дифференциал энергии Гиббса для системы, в которой число частиц является постоянным:

Для системы переменного числа частиц этот дифференциал можно записать так:

где N — химический потенциал, который можно определить как энергию, которую нужно затратить для добавления в систему новой частицы, Дж.

Если температура и объём системы не изменяются, то энергия Гиббса превращается в энергию Гельмгольца, имеющую следующую форму.:

Дифференциал энергии Гельмгольца выглядит следующим образом:

В заключение необходимо отметить, что термодинамика химических реакций во многих случаях описывается системами дифференциальных уравнений. Таким образом, дифференциальные уравнения используются в термодинамике для изучения химических и физических процессов в различных фазах вещества. В результате проделанной работы можно сделать выводы: во многих случаях математическое описание химической задачи имеет вид дифференциальных уравнений, ценность которых обуславливается тем, что, пользуясь ими, можно установить связь между основными переменными процесса.

Список литературы:

1. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. СПб.: Лань, 2007. — 448 с.
2. Брусницына Л.А., Степановских Е.И. Расчет изменений энтропии в системах без химического превращения: учеб. пособие для вузов. Екб.: УГТУ−УПИ, 2008. — 44 с.
3. Глазов В.М., Павлова Л.М. Химическая термодинамика и фазовые равновесия. М.: Металлургия, 1981. — 339 с.
4. Зуев А.Ю., Цветков Д.С. Химическая термодинамика: учеб. пособие для вузов. Екб.: УРФУ, 2020. — 183 с.