НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

NON-STANDARD METHODS FOR CALCULATING SOME INDEFINITE INTEGRALS

Anna Arkatova

Student, Department of Mathematics, Physics and methods of their teaching, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University,

Russia, Naberezhnye Chelny

Rif Ganeev

Scientific supervisor, candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Yelabuga Institute of Kazan Federal University,

Russia, Yelabuga

АННОТАЦИЯ

В данной работе приводятся методы вычисления некоторых неопределенных интегралов от дробно-рациональной функции. Студентам, изучающим курс математического анализа, рассматриваемая тема будет полезна для ознакомления.

ABSTRACT

This paper presents methods for calculating some indefinite integrals of a fractional-rational function. For students studying the course of mathematical analysis, the topic under consideration will be useful for familiarization.

Ключевые слова: неопределенный интеграл; метод неопределенных коэффициентов; интегрирование по частям.

Keywords: indefinite integral; method of indefinite coefficients; integration in parts.

Рассмотрим задачу 2053. [1, с. 152]

                                                                (1)

Воспользовавшись «Калькулятором Интегралов» [2], получаем стандартное решение данной задачи. Используя метод неопределенных коэффициентов (5 коэффициентов), разлагают дробь на простейшие, одна из которых вычисляется не так просто:  – (2). Для решения данного интеграла применяют рекуррентную формулу [3, с.505].

Мы вычислим интеграл (1) другим способом. Проинтегрируем по частям

                                 (3)

Полученный интеграл  – (4) вычислим методом неопределенных коэффициентов (4 коэффициента):

Приравняв соответствующие коэффициенты, получим их значения:

Итак, интеграл (4) примет вид:

 Подставим полученные значения в (3):

Заметим, что в разложении не присутствует интеграл (2), что значительно упрощает решение задачи. При отсутствии  в числителе интеграла (1) наш метод не применим, советуем воспользоваться методом Остроградского.

Приведем другой метод вычисления интеграла (2):

.

Применяя такую замену и свойства тригонометрических функций для вычисления некоторых неопределенных интегралов от дробно-рациональной функции, избавляемся от необходимости использования рекуррентной формулы [3, с. 505]. Этот метод можно использовать и для вычисления интеграла в общем виде  , а также некоторых других интегралов.

Список литературы:

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. —СПб.: Издательство «Лань», 2016 — 492 с.
2. Дэвид Ш. Калькулятор Интегралов [Электронный ресурс]. — Электрон. прогр. — Режим доступа: https://www.integral-calculator.ru, свободный. — Загл. с экрана.
3. Кудрявцев, Л. Д.  Курс математического анализа в 3 т. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 703 с.