КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ НА РАСШИРЕННОМ МНОЖЕСТВЕ НОРМ

​CLASSIFICATION OF THE ALGEBRAIC STRUCTURE ON THE EXTENDED SET OF NORMS

Elizaveta Almazova

student, Faculty of Science, RUDN University,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Исследованы множества, построенные на нормах, с точки зрения теории множеств, а именно введены операции сложения и умножения на множестве норм, операция умножения нормы на элемент кольца и классифицирована полученная алгебраическая структура. Также была поставлена и достигнута промежуточная цель доопределения операций на аффинно расширенной числовой прямой, в том числе модулярной арифметики. С помощью сравнения, анализа, абстракции и других методов был получен практически и научно направленный результат: множество норм, построенное на произвольной норме произвольного фиксированного ненулевого вектора  и расширенное бесконечно удаленной точкой, образует модуль над кольцом ( при заданных определенным образом операциях умножения нормы на элемент кольца, сложения элементов кольца и сложения норм.

ABSTRACT

Sets based on norms are investigated using set theory, in particular, operations of addition and multiplication on a set of norms, an operation of multiplying a norm by a ring element are introduced, and the resulting algebraic structure is classified. Also, an intermediate goal was set and achieved: some functions on an affinely extended real line, including modular arithmetic operations, were defined. Using comparison, analysis, abstraction and other methods, a practically and scientifically oriented result was obtained: the set of norms, based on an arbitrary norm of a fixed arbitrary non-zero vector  and extended by the infinity element, forms a module over the ring ( with certain operations of multiplication of a norm by the ring element, addition of elements of the ring, and addition of norms being introduced.

Ключевые слова: норма; алгебраическая структура; теория множеств; линейное пространство; бесконечно удаленная точка; теория чисел; аффинно расширенная числовая прямая; расширенные пространства; модулярная арифметика; теория норм.

Keywords: norm; algebraic structure; set theory; linear space; infinity element; number theory; affinely extended real line; extended spaces; modular arithmetic; norm theory.

Введение

Когда мы рассматриваем множество, построенное на произвольной норме [1, с. 5], (далее для краткости будем называть его множеством норм), естественно сделать предположение, что на нем можно ввести некоторые операции и, следовательно, построить некоторую алгебраическую структуру. Таким образом, целью исследования стоит доказать высказанную гипотезу и предоставить конкретную реализованную структуру. Также в ходе работы была поставлена промежуточная цель доопределения операций на аффинно расширенной числовой прямой, в том числе модулярной арифметики.

Актуальность работы вызвана необходимостью расширения, систематизации и согласования нового материала по теории норм с имеющейся математической теорией. Для упрощения работы со множеством, в частном случае, множеством норм, целесообразно вводить некоторые бинарные операции на заданном множестве и бинарные операции, связывающие его с другими множествами. В конечном итоге, рассуждения и изыскания дают практически и научно полезный результат благодаря применению теории множеств, в частности, классификации множества в качестве группы, линейного пространства [2, с. 8] или другой алгебраической структуры [3, с. 271].

На протяжении столетий подобные действия не раз были проделаны математиками. Например, матрицы стали рассматриваться как кольца [4, с. 28], что позволило значительно расширить сферу их применения и упростить вывод некоторых правил работы с ними. Таким образом, классификация множества никогда не теряет своей актуальности, напротив, приобретает научную значимость в качестве одного из ключевых аспектов дальнейших его исследований.

Материалы и методы

В работе были использованы понятия бесконечно удаленных точек и расширенных пространств, аксиоматика функции нормы на линейном пространстве, определения и свойства модулярной арифметики, операций над функциями и бесконечно удаленными точками.

С помощью общепринятых методов сравнения и анализа имеющейся теории, ее обобщения и специализации были сделаны гипотезы, доработанные до практически применимой теории с помощью абстрагирования, конкретизации и математического доказательства.

Литературный обзор

Идея объединения норм в некоторое определенное множество, которое возможно найти с помощью простого линейного преобразования, была впервые представлена в статье Алмазовой Е.А. и Пупчина С.К. «Множества норм» [1, с. 5]. Именно введение простого алгоритма построения множества на произвольной норме дает толчок к систематизированному рассмотрению норм как структуры не «разрозненной и абстрактной», а упорядоченной и реально обозримой.

Однако для введения операций на этом множестве потребовалось его расширение с помощью бесконечно удаленной точки, а значит, появилась необходимость в доопределении некоторых операций с бесконечностью, что уже проводилось в некоторых научных трудах, например, МакШейна Э.Дж. [5, с. 2].

Некоторые использованные в работе факты были доказаны или обозначены в учебных пособиях. К работам, связанным с теорией множеств, относятся [2], [3, 4, 6]. Определения, относящиеся к нормам и нормированным пространствам, раскрываются в [7, 8, 9, 10, 11]. Не менее важным являются источники [12, 13, 14; 15], дающие понятие о современной модулярной арифметике и ее приложениях, а также [16; 17], обосновывающие необходимость появления бесконечно удаленной точки в математике и ее применимость.

1. Модулярная арифметика на аффинно расширенной числовой прямой

Для начала требуется доопределить модулярную арифметику, чтобы ее можно было использовать на аффинно расширенной числовой прямой.

По определению, , если , где  – целые числа, причем . Чтобы сначала расширить это понятие на вещественные числа, положим, что , если , где  – целые числа, причем .  Определенное таким образом отношение сравнимости по модулю является отношением эквивалентности, так как выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, что доказывается тривиально из определения аналогично свойствам сравнения по модулю целых чисел. Другие свойства сравнения по модулю тоже доказываются аналогично.

Теперь имеется операция сравнения по модулю на множестве вещественных чисел. Ни одно из свойств бесконечно удаленных точек не предусматривает непосредственно модулярные операции. Поэтому положим их самостоятельно так, чтобы это не противоречило определению и свойствам. Как известно, в некоторых случаях такое задание и даже определение общепринятых неопределенностей возможно, что уже было сделано в нескольких научных трудах на тему математики, например, [5, с. 2].

Имеем, если , где  – целые числа, причем .

1. Если  , то из тех же свойств бесконечно удаленной точки следует, что  так как умножение бесконечности на любое число, кроме нуля, есть бесконечность, а умножение на ноль не определено. Однако, как отмечено выше, некоторые авторы ранее принимали . Так, примем , тогда
2. Если   то из представления  в виде  из свойств бесконечно удаленной точки следует, что c не может быть однозначно определено, но находится на интервале  Аналогично, если  . Без потери общности можно принять , так как по определению бесконечно удаленной точки можно выделить такую возрастающую или убывающую последовательность вещественных чисел  которая сходится в точке  или  соответственно, а по свойствам предела последовательности и бесконечно удаленной точки мы сможем выбрать некоторую точку , откуда  возможно выбрать произвольным образом.
3. Если  , то . Из свойств бесконечно удаленной точки получаем, что c не может быть однозначно определено, но находится на интервале , то есть . Без потери общности мы можем принять , так как если p имеет тот же знак, что и бесконечно удаленная точка, то требуемое равенство будет выполняться.

2. Лемма об аддитивной абелевой группе ()

Чтобы упорядочить дальнейшие рассуждения, выделим одно часто встречаемое утверждение и докажем его в качестве леммы.

ЛЕММА

Пара  образует аддитивную абелеву группу, определенного как сложение по модулю , где  - это полуинтервал на аффинно расширенной числовой прямой,  – максимальное из слагаемых.

Доказательство:

Определенное таким образом сложение в дальнейшем будет обозначаться знаком  для того, чтобы отличаться от обычного сложения чисел. Также будет использована формула модулярной арифметики:

1. Данное множество является замкнутым относительно операции сложения:

что фактически равно , по условию принадлежащему множеству .

14. .B. Для простоты сейчас и в дальнейшем такое фактическое равенство будем обозначать как обычное равенство: в данном случае .
217. Аксиома ассоциативности выполняется. Поскольку для сложения выбирается максимальное из слагаемых, имеет смысл проверить аксиому для всех 6 возможных порядков 3 произвольных слагаемых

1) : ;

2) :;

3) :;

4) :;

5) :;

6) :.

3. Нейтральный элемент M существует:

4. Обратный элемент для каждого предположим, , тогда

Предположим, , тогда

Следовательно, .

5. Аксиома коммутативности выполняется:

3.  как аддитивная абелева группа

Теперь стоит отметить, что множество A, образующее определенное в начале множество норм, нельзя дополнить бесконечно удаленной точкой , поскольку в таком случае хотя бы одна из полученных норм не примет конечное значение, что противоречит ее определению. Тем не менее, имеет смысл дополнить само множество норм бесконечно удаленной точкой , что истекает из геометрического смысла нормы как длины вектора [3, c. 8].

С этого момента под расширенным множеством норм  будем понимать множество, построенное на произвольной норме для фиксированного произвольного ненулевого вектора  и дополненное бесконечно удаленной точкой . Введем на нем операцию сложения норм, определенную как сложение по модулю , где  – максимальное из слагаемых. При этом, поскольку согласно определению операций с функциями ,  а множество значений норм, принадлежащих расширенному множеству норм, , операция сложения определенным выше образом фактически представляет собой сложение по модулю чисел из множества .

Таким образом, согласно лемме, пара  образует абелеву группу относительно сложения, определенного как сложение по модулю , где  – максимальное из слагаемых.

4. Пара (N как модуль над кольцом (

Теперь рассмотрим снова множество . Введем на нем операцию умножения , определенную как общепринятое умножение чисел.

1. Данное множество является замкнутым относительно операции умножения:

2. Аксиома ассоциативности выполняется, это следует из свойств умножения чисел.
3. Аксиома дистрибутивности выполняется.

1) 

2) 

Таким образом, с учетом леммы, ( образует кольцо.

Теперь докажем, что множество норм является модулем над вышеуказанным кольцом. Возможно определить операцию умножения элементов расширенного множества норм  на элементы кольца аналогично построению множества норм в [1, с.5], при этом расширенное множество норм  будет замкнуто относительно этой операции. Эта операция удовлетворяет таким условиям для любых норм   рассматриваемого расширенного множества норм  и элементов  рассматриваемого кольца:

I. 

II. 

III. 

IV. 

Результаты

В работе было доказано, что можно построить пару , где  – расширенное множество норм, построенное на произвольной норме фиксированного произвольного ненулевого вектора и дополненное бесконечно удаленной точкой,  - сложение по модулю ,  – максимальное из слагаемых. Эта пара образует модуль над кольцом ( при заданном выше сложении  элементов кольца, заданном выше сложении норм и умножении нормы на элемент кольца, где полуинтервал . Также в ходе работы были получены промежуточные результаты:

1. модулярная арифметика может быть задана на аффинно расширенной числовой прямой;
2. Пара ( образует абелеву группу относительно сложения, где + - сложение по модулю  – максимальное из слагаемых,  - это полуинтервал на аффинно расширенной числовой прямой.
3. Тройка  образует кольцо, где + – сложение по модулю  – максимальное из слагаемых,  –полуинтервал на аффинно расширенной числовой прямой, – обычное умножение чисел.

Выводы

Возможность рассмотрения алгебраической структуры, построенной на расширенном множестве норм, а также описанные задания операций на этом множестве показывают, что нормы можно рассматривать в совокупности, что может значительно облегчить научные изыскания в области математики, информатики и других сфер. Более того, это позволяет углубить теорию норм и расширить область их практического применения.

Список литературы:

1. Алмазова Е.А., Пупчин С.К. МНОЖЕСТВА НОРМ // Студенческий: электрон. научн. журн. 2022. № 36(206). URL: https://sibac.info/journal/student/206/268139 (дата обращения: 18.11.2022).
2. МакШейн Э. Дж. Unified Integration. Орландо: Academic Press, 1983. – 606 с.
3. Лекции по алгебре. Семестр 2. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах: Учебно-методическое пособие / С.Н. Тронин. — Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2012. — 69 с.
4. Алгебра и теория чисел: методические указания к лабораторным занятиям / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: В.П. Добрица. – Курск, 2019. – 28 с.: табл. 5. – Библиогр.: с. 28.