РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

​THE DISTANCE BETWEEN TWO PARALLEL LINES IN SPACE

Anna Arkatova

Student, Department of Mathematics, Physics and methods of their teaching, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University,

Russia, Naberezhnye Chelny

Rif Ganeev

Scientific supervisor, candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Yelabuga Institute of Kazan Federal University,

Russia, Yelabuga

АННОТАЦИЯ

В данной работе приводится три способа вычисления расстояния от точки до прямой, которые, по сути, являются методами нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми в пространстве. Полученные способы закрепляются решением на конкретном примере. Данная работа полезна студентам, изучающим аналитическую геометрию.

ABSTRACT

This paper presents three methods for calculating the distance from a point to a straight line, which, in fact, are methods for finding the distance between two parallel lines in space. The obtained methods are fixed by the solution on a specific example. This work is useful for students studying analytical geometry.

Ключевые слова: точка; прямая; плоскость; расстояние; пучок прямых; параллельные прямые; векторное произведение.

Keywords: point; straight line; plane; distance; bundle of straight lines; parallel lines; vector product.

В курсе аналитической геометрии существует задача о нахождении расстояния между двумя параллельными прямыми в пространстве. В данной работе разберем способы её решения.

Итак, расстояние между двумя параллельными прямыми есть ничто иное, как расстояние от любой точки прямой до другой прямой. То есть, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве, необходимо решить задачу о нахождении расстояния от точки до прямой.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат  дана прямая  своим уравнением и точка . Найти расстояние .

Для определенности зададим прямую  каноническим уравнением:

 .

Имеем:

 – точка, принадлежащая прямой ;

 – направляющий вектор прямой ;

– точка, не принадлежащая прямой.

Способ №1

Чтобы найти расстояние от т.  до прямой , воспользуемся равенством площадей треугольников.

Рисунок 1. Геометрическая модель способа №1.

 – расстояние от т.  до прямой , высота треугольника .

Найдем площадь треугольника  как:

1. половина произведения основания на высоту: ;

2. половина модуля векторного произведения векторов  и : ;

Очевидно,   (1) – расстояние от т.  до прямой  [1, с. 258].

Способ №2

Чтобы найти расстояние от т.  до прямой , используем плоскость, проходящую через т. и перпендикулярную нашей прямой.

Зная координаты направляющего вектора  и т. , можем составить уравнение плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку (т.к. направляющий вектор прямой можно взять за нормальный вектор плоскости).

Рисунок 2. Геометрическая модель способа №2.

,

,

где .

Полученная нами плоскость () будет пересекать прямую  под прямым углом в т. .

:     ;

:    ;

:  ;     (2)

Из первого уравнения системы (2) найдем единственное значение t:

,  , т.к.  – координаты направляющего вектора прямой .

Подставив полученное значение t в 2,3,4 уравнения системы (2), получаем .

 – расстояние от т.  до прямой .

 .

Способ №3.

Чтобы найти расстояние от т.  до прямой , составим уравнение пучка прямых, проходящих через точку , где  множество направляющих векторов. 

,  .

Рисунок 3. Геометрическая модель способа №3.

Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную к  и пересекающую её.

Условие перпендикулярности: .

Условие пересечения: определитель, составленный из трех векторов  равен 0, т.е. они компланарны.

;

Решив данную систему, найдем значения  => можем составить уравнение прямой , проходящей через т. , пересекающей  и перпендикулярной ей. 

Далее найдем точку пересечения  и  – т. 

:  , (метод решения данной системы рассмотрим на конкретном примере).

 – расстояние от т.  до прямой .

Способ №3 представлен для ознакомления и расширения вашего кругозора. Будет полезен для развития логических способностей.

Разберем на одном примере все полученные способы.

Задача.

Убедитесь, что прямые   ,     параллельны. Найдите расстояние между ними. [2, с. 162].

Решение.

Чтобы убедиться в параллельности прямых, необходимо проверить условия параллельности направляющих векторов данных прямых.

Очевидно, что направляющий вектор прямой : .

В случае, когда прямые заданы, как пересечение двух плоскостей, направляющий вектор определяется, как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей.

,

где

 – направляющий вектор прямой ;

 – нормальный вектор первой плоскости;

 – нормальный вектор второй плоскости.

Итак,

, т.к. координаты векторов  и  пропорциональны => вектора коллинеарны => прямые  и  параллельны.

Способ №1

Дано:

Решение:

Необходимо найти координаты т. , принадлежащей .

 , пусть , тогда  ;

 ; ;  ;

 ;    

=>

=>

Теперь можем найти , используя полученную нами формулу (1):

Ответ: 25.

Способ №2

Дано:

 (нашли в способе №1)

Решение:

Составим уравнение плоскости , проходящей через т. и перпендикулярной нашей прямой.

,

Полученная нами плоскость () будет пересекать прямую  под прямым углом в т. .

:     ;      :    ;

: ;                      (3)

Из первого уравнения системы (3) найдем единственное значение t:

Подставив полученное значение t в 2,3,4 уравнения системы (3), получаем

:  ;    : ;

 – расстояние от т.  до прямой .

Ответ: 25.

Способ №3

Дано:

 (нашли в способе №1)

Решение:

Составим уравнение пучка прямых проходящих через т. , где  множество направляющих векторов прямых.

, .

Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную к  и пересекающую её.

 ;

  ;                                                                       (4)

Решив систему (4), найдем значения  

, пусть  , тогда

=> можем составить уравнение прямой , проходящей через т. ,  пересекающей  и перпендикулярной ей.

Далее найдем точку пересечения  и  – т.

:    ; 

Напишем параметрические уравнения прямых:

Точка пересечения – т. принадлежит и , и .

=> координаты т. удовлетворяют параметрическим уравнениям  и  и соответствуют конкретным значениям  и .

Приравняем соответствующие уравнения и упростим:

  ;  ;   ;

=> ;   .

 – расстояние от т.  до прямой .

Ответ: 25.

Список литературы:

1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии, М. «Наука», 1968. — 912 с.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В. Ефимова (13-е изд., 1980) — 241 с.