Графы в химии

АННОТАЦИЯ

Ни один раздел химии, не обходится без использования математики. Так, теория графов используется при изучении органической химии.

Ключевые слова: графы, матрицы расстояний, углеводороды.

Изучение химии основывается на вопросах о связях между свойствами веществ и их структурой. Известный химик Александр Бутлеров первым обнаружил, что свойства веществ зависят от того, как атомы связаны между собой в определенном порядке. Эта научная теория заложила основу для изучения химии и с помощью нее можно понять, как взаимодействуют друг с другом химические соединения. Ученый сказал, что составу бутана могут соответствовать два вещества, имеющие разное строение, и подтвердил это, получив изобутан.

Прорывом в химической науке стало представление молекул с помощью графов. В которых атомы выступают в качестве вершин, а химические связи между ними – в роли ребер. Порядок их соединения оказался важным фактором в формировании свойств вещества, что стало основой создания графической модели молекул. Химические связи между атомами изображаются в виде линий, соединяющих вершины графа - атомы, а способ, которым они соединены, определяет их порядок соединения.

 Таким образом, графы молекул являются уникальным инструментом для анализа свойств веществ.

В химии математические объекты получают новые свойства, если их характеризуют числами. Для графов эти числа называют "топологическими индексами". Топологический индекс для множества молекул помогает установить связь между этим индексом и физическими свойствами веществ, что может быть использовано для предсказания свойств, не синтезированных веществ.

Рассмотрим реализацию данной идеи на примере предельных углеводородов – алканов. Основное понятие при расчете топологического индекса - "матрица расстояний". Она состоит из элементов, которые показывают количество ребер, разделяющих соответствующие вершины молекулярного графа. Следовательно, можно увидеть связь между графами и их физическими свойствами.

Построим матрицу расстояний для трех изомеров пентана. Для этого изобразим их молекулярные графы и пронумеруем вершины:

Рисунок 1. Изображение молекулярных графов

Диагональ матрицы расстояний для углеводородов равна 0. В первом графе вершина 1 связана с вершиной 2 одним ребром, поэтому элемент матрицы d₁₂ = 1. Аналогично, d₁₃ = 2, d₁₄ = 3, d₁₅ = 4. Первая строка в матрице расстояний нормального пентана имеет вид: (0 1 2 3 4). Полные матрицы расстояний для трех графов:

Порядок перечисления не зависит от расстояния между вершинами, отсюда матрицы расстояний будут симметричны относительно их диагонали.

Первый топологический индекс был предложен в 1947 г. Харри Винером. Индекс Винера определяется как сумма диагональных элементов матрицы расстояний плюс полусумма ее недиагональных элементов:

                                                                         (1)

Для указанных выше графов индекс Винера принимает значения 20, 18 и 16. Следовательно, он описывает степень разветвленности соединения. Наибольшие значения соответствуют наименее разветвленным органическим соединениям. Чем длиннее углеродный скелет, тем индекс Винера растет, так как в матрице расстояний становится больше элементов. Статистика показывает, что индекс Винера взаимосвязан с некоторыми физическими и химическими свойствами предельных углеводородов.

Другой тип индексов основан на числе ближайших соседей для каждой вершины. В качестве примера рассчитаем индекс Рандича, который определяется следующим образом:

                                                                     (2)

где  – степень i-й вершины, то есть число ребер, которые от нее отходят. Для указанных выше графов индекс Рандича будет равен:

                            (3)

                       (4)

                                           (5)

Индекс Рандича также уменьшается с увеличением степени разветвленности углеродного скелета и может быть использован для описания физических свойств алканов.

Так, как алканы не содержат никаких «особенностей» – двойных и тройных связей или атомов других элементов. То введение гетероатомов в состав молекулы может кардинально изменить свойства вещества.

Следовательно, в топологических индексах молекул, более сложных, надо учитывать присутствие всех «особенностей» углеводородов. Это можно сделать с помощью присвоения вершинам и рёбрам графов определённых числовых коэффициентов — «весов». Так, в пропане , в пропиловом спирте  и в ацетоне . Где W – это определенный числовой коэффициент. Таким образом, если молекула имеет кратные связи или высокую степень разветвления, то топологический индекс уменьшается. Также эти правила применяются к более сложным молекулам.

В заключении хочется сказать, что именно математика превратила химию в экспериментальную науку. С помощью математики химики способны производить сложнейшие математические операции, моделирующие химические процессы. Химическое производство не способно существовать без математики.

Список литературы:

1. Антипина, Е.В. Применение теории графов при решении задач моделирования химических реакций / Е.В. Антипина. – [Текст] : электронный // NovaInfo, 2022. - № 130. - С. 4-5.
2. Дистель Р. Теория графов: Пер. с англ. О.В. Бородина. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. 336 с.
3. Еремин, В.В. Математика в химии [Текст]: учебник - 2-е изд., испр. – М.: МЦНМО, 2016. – 64 с.
4. Неорганическая химия [Текст]: учебник: в 3 т. / под ред. Ю.Д. Третьякова. – М.: Академия, 2007. – (Высшее профессиональное образование). – ISBN 5-7695-1437-Х.
5. Станкевич М.И., Станкевич И.В., Зефиров Н.С. Топологические индексы в органической химии // Успехи химии. - 1988. №3. - С. 337-366.