АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ALGEBRAIC GEOMETRY

Zhanna Khairullina

master student, Department of Mathematics, West Kazakhstan University named after Makhambet Utemisov,

The Republic of Kazakhstan, Uralsk

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена на гипотезы и выводы теоремы, описывающие характеристики определенных геометрических структур, могут быть переведены к системе полиномиальных уравнений и как алгебраические методы.

ABSTRACT

The article is devoted to hypotheses and conclusions of the theorem, describing the characteristics of certain geometric structures, can be translated to a system of polynomial equations and as algebraic methods.

Ключевые слова: теорема, гипотеза, определение, полиномиальное уравнение, Аффинное пространство.

Keywords: theorem, hypothesis, definition, polynomial equation, affine space.

Алгебру и геометрию часто рассматривают как две отдельные области математики. Когда мы находим связи между этими и другими разделами математики, наша понимание математики обогащается. Алгебраическая геометрия - это изучение решений систем полиномов от одной или нескольких переменных. Набор решений представляет собой набор упорядоченные n-кортежи, называемые аффинным многообразием. Аффинные разновидности – это кривые, поверхности и выше размерные объекты, определяемые системами полиномиальных уравнений. «Способность рассматривать многочлен как функция — вот что позволяет связать алгебру и геометрию».

Определение 1. Пусть k — поле, и пусть f₁, f₂, . . . , f_s — полиномы от к[х₁, х₂, . . . , х_n]. Затем мы устанавливаем

V(f₁,f₂,...,f_s) = {(a₁,a₂,...,a_n) ∈ kⁿ ǀ f_i(a₁, a₂,...,a_n) = 0 для всех 1 ≤ i ≤ s}.        (1)

Назовем V(f₁, f₂,...,f_s) аффинным многообразием, определяемым f₁, f₂,...,f_s.

Другими словами, аффинное многообразие — это набор n-кортежей, представляющих решения системы уравнений. Особенно интересуют n-кортежи, которые удовлетворяют f₁(x₁,x₂,...,x_n)=0, f₂(x₁,x₂,...,x_n)=0, ..., f_s(x₁,x₂,...,x_n)=0. Когда мы имеем решение f(x₁,x₂,...,x_n) = 0, то говорим, что f обращается в нуль в (x₁,x₂,...,x_n).

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы мы могли расширить наше понимание связи между алгебраическим представлением (системой полиномов) и геометрическим представлением (упорядоченной парой на декартовой плоскости).

Пример 1. Задача в R², представленная, например, в курсе алгебры средней школы, может потребоваться для поиска решения для y=x². Учащиеся составляют список пар, таких как (0, 0), (1, 1), (2, 4), которые удовлетворяют уравнению. Они также могут представить уравнение геометрически, нарисовав параболическую кривую, которая представляет все решения уравнения. Мы можем обобщить эту проблему, написав уравнение как f(x, y) = y – x² функция, которая отображает упорядоченные пары в действительные числа. Например, f(3, 17) = 17 − 3² = 8. Упорядоченная пара (3, 17) не является точкой на параболе, определяемой равенством y = x². Единственный упорядоченные пары, которые будут на кривой, и это те, которые отображаются на ноль. Поскольку f(2, 4) =4 − 2² = 0, точка (2, 4) будет на кривой. Задача средней школы является частным случаем этого отображения, в котором мы отображаем n-кортежи в нулевой элемент поля.

Пример 2. Рассмотрим V(y−x², у – х - 2). Мы хотим, чтобы множество упорядоченных пар (x, y) ∈ R², которые удовлетворяют обоим уравнениям, y − x² = 0 и y − x − 2 = 0. Эту систему можно решить с помощью замены, и у нас будет два решения, (−1, 1) и (2, 4), представляющие точки, где парабола и прямая пересекаются на декартовой плоскости. Тогда,

V(y−x², у – х - 2) = {(−1, 1), (2, 4)}.                                   (2)

Разнообразие может быть пустым. Если R² есть две кривые, которые никогда не пересекаются.

Когда мы думаем о многочлене как о функции, связь между алгеброй и геометрией становится более заметной.

Список литературы:

1. Ральф Фроберг. Введение в базы Гробнера. Джон Уайли и сыновья, 1997. –С.40-45.
2. Джозеф А. Галлиан. Современная абстрактная алгебра. Заниматься обучением, 2017. –С.70-99.
3. Самира Зеада. Полиномиальное деление и базис Грёбнера. Преподавание математики,2013. -№16. –С.27–40