СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

COMPARATIVE ANALYSIS OF RANDOM WALK METHODS FOR A STEADY-STATE HEAT EQUATION EXAMINATION

Mikhail Sokolovskiy

master's student, department “Computer software and information technologies”, Moscow state technical university named after N.E. Bauman,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В данной работе проводится сравнительный анализ вероятностных методов исследования стационарного уравнения теплопроводности. В частности, рассматривается несколько вариаций метода случайного блуждания.

ABSTRACT

This paper performs comparative analysis of probabilistic methods for an examination of the steady-state heat equation. In particular, several variations of the random walk method are considered.

Ключевые слова: уравнения математической физики; дифференциальные уравнения в частных производных; численные методы; случайное блуждание.

Keywords: equations of mathematical physics; partial differential equations; numerical analysis; random walk.

Введение

В данной работе рассматриваются методы исследования уравнения стационарной теплопроводности. В математической постановке задачи необходимо для заданной краевой задачи получить значение целевой функции  в указанных точках. Задача рассматривается на прямоугольной области, содержащей прямоугольное отверстие. Заданы граничные условия первого рода. В общем виде рассматриваемая задача имеет вид, показанный на формуле (1).

 – коэффициент теплопроводности;

 – функция, описывающая локальный источника тепла;

 – внешняя и внутренняя границы области соответственно;

 – значения целевой функции на соответствующих границах.

Задача имеет следующий физический смысл. Рассматриваемая область является металлической пластиной. Граничные условия представляют собой температуру, поддерживаемую на границах данной пластины. Функция  описывает подвод тепла на площади пластины. Задача заключается в нахождении стационарной температуры в отдельных точках пластины.

Особенностью рассматриваемой задачи является локальный характер функции . Значение данной функции на большей части области постоянно (либо пренебрежимо мало и может быть заменено на 0). Пример такой функции, рассматриваемой в данной работе, приведён на формуле (2).

 – интенсивность источника тепла;

 – коэффициент затухания;

 – координаты центра источника.

Разностная схема

Для получения опорного решения в данной работе используется разностная схема. Данное решение предоставляет значения целевой функции в каждом узле сетки. Для построения разностной схемы, используемой в данной работе, используется аппроксимация разностным оператором, приведённым на формуле (3). Формула для производных по переменной  строится аналогично.

 – размер шага сетки в направлении оси ;

 – значение функции в узле сетки с координатами .

В целях упрощения вычислений значения шага сетки в направлениях  и  принимаются равными друг другу: . После упрощения, разностная схема может быть построена путём замены дифференциальных операторов, как показано на формуле (4).

Уравнения вида (4) описывают элементы системы линейных уравнений. Для её решения целесообразно применять численные методы решения. Примером такого метода является метод Зейделя. Для его применения из уравнения (4) необходимо выделить значение , как показано на формуле (5).

Каждая итерация метода заключается в вычислении значения, приведённого на формуле (5) и сохранении его в узле сетки . Для вычисления очередного приближения используются текущие значения функции  в узлах. Начальное приближение получается линейной интерполяцией граничных значений.

Для определения окончания итераций используется норма разности матриц целевой функции на текущей и предыдущей итерации. Итерации прекращаются по достижении данной величины некоторого малого значения  (в данной работе ). В качестве матричной нормы используется норма Фробениуса.

Случайное блуждание

Основным отличием рассматриваемых методов является нахождение значения функции в одной точке, в отличие от разностных схем, позволяющих получить решение для всех точек области (на сетке) сразу.

Рассматриваемые в данной работе методы основаны на технике случайного блуждания. Идея данной техники заключается в следующем. Из заданной точки испускаются  частиц. Каждая частица выполняет случайное блуждание: на каждом шаге она перемещается в некоторую точку из её окрестности до тех пор, пока не достигнет одной из границ области. После достижения границы, итоговая температура, определённая данной частицей, зависит от значений функции  на пути частицы и значения функции  на границе. Далее будут рассмотрены различные методы, реализующие данную технику.

Метод фиксированного случайного блуждания работает на сетке. Задаётся начальный узел сетки, из которого испускаются частицы. На каждом шаге частица случайным образом перемещается в один из четырёх соседних узлов. Блуждание завершается при попадании частицы в узел, соответствующий границе. Приближённое значение температуры в заданной точке  описывается формулой (6).

 – значение температуры на границе в точке, достигнутой частицей ;

 – значение функций  в точке, посещённой частицей  на шаге .

Методы плавающего блуждания отличаются от фиксированного тем, что они работают без сетки. Положение частицы на очередном шаге блуждания случайным образом выбирается на окружности с центром в текущем положении частицы. Блуждание прекращается, когда частица приблизится к границе на близкое расстояние. Таким образом, итоговая температура в заданной точке выражается как показано на формуле (7).

 – путь, пройденный частицей  на шаге .

В работе рассматривались 2 вида плавающего блуждания – с фиксированным и переменным шагом. В первом случае длинна каждого шага фиксирована. Во втором случае длинна шага равна кратчайшему расстоянию от текущего положения частицы до границы области.

Аналитическое вычисление криволинейного интеграла в формуле (7) в большинстве случаев нецелесообразно, в связи с чем его значение находится численно. В данной работе используется метод численного интегрирования Симпсона. Для этого отрезок  разбивается на равные интервалы с шагом , после чего этот метод может быть описан как показано на формуле (8).

 и  – значения функции  в начале, середине и конце -го интервала соответственно.

В данной работе предлагается следующая модификация метода плавающего блуждания. Численное интегрирование является затратной по времени операцией. Учитывая характер функции , имеющей константное значение на большей части области, интегрирование может не проводиться в случае, если отрезок интегрирования не пересекает область, на которой значение функции  не постоянно. В случае, если отрезок не пересекает эту область, интегрирование может быть произведено по свойству интегрирования константы.

Метод обнаружения пересечения отрезка с указанной областью зависит от характера функции. Метод не должен быть затратным по вычислениям. При этом он может описывать область неточно. Целесообразно для описания области использовать множество прямоугольников и кругов, так как данные фигуры позволяют эффективно проверять пересечение отрезка с ними.

В данной работе для описания области используется прямоугольник. Проверка выполняется в несколько этапов. На первом этапе выполняется проверка пересечений проекций отрезка и прямоугольника. После этого проверяется попадание одного из концов отрезка внутрь прямоугольника. На последнем этапе проверятся факт пересечения отрезка с одной из диагоналей.

Преимуществом методов плавающего блуждания является сокращение числа шагов, необходимых частице для достижения границы за счёт увеличения длинны шага. Также, плавающее блуждание позволяет точнее приближать области произвольной формы за счёт того, что в нём не используются сетки.

Недостатком данных методов является необходимость вычисления значения функции  на каждом шаге частицы, в отличие от метода фиксированного блуждания, в котором её значения могут быть предварительно посчитаны и сохранены для каждого узла сетки. Также, использование этих методов затруднено в случае, если функция  задана в сеточном виде. В этом случае можно использовать интерполяцию значений ближайших узлов сетки. Это также может сократить объём вычислений на каждом шаге, однако внесёт дополнительную погрешность. Одним из способов решения данной проблемы является уменьшение шага сетки.

Сравнительный анализ

Для сравнения работы методов используются задача, заданная следующим образом. Размеры сетки равны  при шаге сетки равном , смещение внутреннего прямоугольника – , его размеры – . Значение функции на внешней и внутренних границах:  и . Функция  задана уравнением (2) с параметрами  и . Координаты центра источника: . Коэффициент  равен .

В данной работе погрешность вероятностных методов вычисляется относительно решения, полученного при помощи разностной схемы. Визуализация этого решения в виде тепловой карты приведена на рисунке Рисунок 1.

Рисунок 1. Решение задачи, полученное при помощи разностной схемы

Все приведённые далее погрешности были получены следующим образом. Для каждой конфигурации метода было получено 150 результатов его работы для точки максимума функции , после чего вычислялась относительная погрешность каждого результата относительно решения, полученного разностной схемой. На графиках далее точками обозначено среднее значение относительной погрешности, а расстояние до границ соответствующего отрезка равно её среднеквадратичному отклонению.

На рисунке Рисунок 2 показан график относительной погрешности метода фиксированного блуждания в процентах в зависимости от числа частиц.

Рисунок 2. Погрешность метода фиксированного блуждания

Метод плавающего блуждания с постоянным шагом показал неудовлетворительные результаты по времени работы, поэтому далее не рассматривается в данной работе.

Метод плавающего блуждания с переменным шагом, помимо числа испускаемых частиц, зависит от величины шага численного интегрирования. Далее будет рассмотрено 2 случая: для шага интегрирования 0.02 и 0.015. Графики погрешности этого метода приведены на рисунке Рисунок 3.

Рисунок 3. Погрешности метода плавающего блуждания для шагов интегрирования 0.02 и 0.015 соответственно

Исходя из анализа графиков можно сделать вывод, что методы плавающего блуждания позволяют получить более точный результат с использованием меньшего числа частиц. Для получения средней погрешности 1% имеет смысл рассматривать метод фиксированного блуждания с 85 частицами, а методы плавающего блуждания – с 50 и 40 частицами соответственно.

Далее, рассмотрим время работы данных методов. Поскольку данные методы имеют схожую структуру, выражающуюся в обработке некоторого числа частиц, для их описания можно использовать среднее время обработки одной частицы. Однако метод фиксированного блуждания использует матрицу со значениями функции , заполняемую до выполнения метода. Время, затраченное на заполнение этой матрицы, не учитывается во времени работы метода. При этом на каждом шаге плавающего блуждания выполняется вычисление этой функции, что учитывается во времени блуждания частицы.

В таблице Таблица 1 приведено время одного шага для каждого, из рассмотренных ранее методов случайного блуждания, а также фактическое время выполнения для достижения средней погрешности 1%, как описано выше.

Таблица 1.

Время работы методов

Также, время выполнения каждого метода зависит от параметров решаемой задачи. В частности, увеличение размера области приводит к увеличению времени вычислений. Время работы метода фиксированного блуждания увеличивается быстрее, чем для плавающего, при удалении точки от границы области. Усложнение функции  почти не отражается на времени работы метода фиксированного блуждания за счёт предварительных вычислений, но сильно влияет на плавающее.

Заключение

В данной работе был проведён сравнительный анализ методов случайного блуждания для решения краевой задачи для дифференциального уравнения стационарной теплопроводности на заданной области. Работоспособность и относительная погрешность методов оценивалась по сравнению с решением, полученным при помощи разностной схемы.

В результате работы была показана допустимость использования вероятностных методов на задачах, заданных на больших областях с относительной погрешностью решения приблизительно равной 1%.

Была рассмотрена модификация метода случайного блуждания, позволяющая ускорить его работу в 2.1-2.3 раза на рассмотренном примере.

Также были предложены возможная дальнейшая модификация метода плавающего блуждания, связанная с интерполяцией сеточных функций.

Список литературы:

1. Recktenwald, G. Finite-Difference Approximations to the Heat Equation // Mechanical Engineering. 2004. Vol. 10.
2. Talebi, S., Gharehbash, K., Jalali, H. Study on random walk and its application to solution of heat conduction equation by Monte Carlo method // Progress in Nuclear Energy. 2016. Vol. 96. P.18-35.
3. Кузнецов В.Ф. Решение задач теплопроводности методом Монте-Карло. – М.: Институт атомной энергии им. И.В. Курчатова. 1973.