ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В ХИМИИ

АННОТАЦИЯ

 В современном мире квантовая механика является неотъемлемой частью многих научных дисциплин, в которые входит и современная химия. Пусть с ее момента появления прошло менее ста лет, квантовая механика продолжает помогать ученым в исследованиях атома.

Ключевые слова: квантовая механика, уравнение Шредингера, формула, химия, оператор, волновая функция.

Квантовая механика описывает движение и специфические свойства микроскопических частиц (в том числе электронов, атомов, молекул и т.д.). Зная свойства и законы этой научной области, ученые химики могут описать движение электрона в атоме. Для решения подобных задач используется основное уравнение квантовой механики или уравнение Шредингера, имеющее несколько производных. Следует понимать, на каких принципах оно основано и как находить специфические свойства многих атомов.

Целью данной статьи является подробное описание уравнения Шредингера и применение производных в химических задачах.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики. Оно описывает функцию волновой системы, которая дает сведения о вероятности расположения частицы в пространстве и других величинах (например, импульс).

Чтобы подойти к изучению уравнения, нужно обладать представлением, что такое волновая функция.

Волновая функция Ψ(psi) – функция степеней свободы, соответствует какому-либо набору коммутирующих (связанных) наблюдаемых. Другими словами, волновая функция – мера амплитуды волны электрона в наименьшем объеме пространства с координатами x, y и z. Когда есть выражение функции волны, мы можем знать всё о физической системе.

Иные значения для исследуемых величин могут быть получены путем использования к нему оператора.

Оператор – это математический метод воздействия на функцию с целью получения собственного значения. Например, если применяем оператор импульса на пси-функцию, то получаем собственное значение импульса.

Квадрат модуля волновой функции показывает нам вероятность расположения частицы в некотором положении в данное время. Это работает только если функция нормализована, т.е сумма квадратного модуля всех положений равна единице (то есть частица обязательно где-то существует).

Теперь приступим к самому уравнению и разберем каждую переменную.

Теоретические основы применения уравнения Шредингера в квантовой механике.

В уравнении Шредингера волновая функция объединяется с потенциальной и полной энергиями электронов:

,

где первые три члена – сумма производных второго порядка волновой функции в координатах x, y и z,

m – масса электрона,

h - постоянная Планка.

Уравнение Шредингера можно решить только для водорода и атомов, содержащих всего один электрон. Решая уравнение, находят значения Ψ-функций, которые характеризуют вероятность нахождения электрона в ядре, и энергетическое состояние электронов.

Физический смысл Ψ-функции: вероятность нахождения электрона в каком-то определенном объёме пространства прямо пропорциональна квадрату амплитуды его волны (или же квадрату функции Ψ).

В месте, где функция (Ψ²) принимает наибольшее значение электрон пребывает чаще, это пространство называется электронным облаком атома или его электронной орбиталью. Она определяет возможное нахождение электрона в сферическом слое:

D = 4πr²Ψ ²,

где D – плотность электронного облака,

r – радиус атома,

Ψ – волновая функция.

Рассмотрим решение уравнения Шредингера для водорода.

Рисунок 1. Вероятность нахождения электрона в пространстве около ядра

На рисунке 1 (a) — электронная орбиталь атома водорода. Окружность лишь условное местонахождение электрона, чаще всего 90-95% электронного облака находится вблизи окружности. В пространстве это выглядит, как полый шар.

На рисунке 1 (б) мы видим разрез вдоль оси OX. Отметим, что максимальная вероятность нахождения электрона соответствует орбитам, вычисленным при предположении о движении электрона по ядру.

На рисунке 1 (в) образуется разрез электронных облаков плоскостью, в то время как центральные окружности являются линиями электронных облаков, плотность которых одинакова. Окружность в местах наибольшего значения соответствует максимальной плотности электрона.

Изображение электронного облака в виде зависимости его плотности от радиуса очевидно, однако иногда могут применять квадрат волновой функции Ψ² и строить графики откладывая Ψ² в зависимости от расстояния. Исходя из формулы:

 ,

где Ψ – волновая функция,

D – плотность электронного облака,

r – радиус атома.

Бесспорно, если радиус будет равен нулю, то величина Ψ ² будет бесконечно большой. Напротив, при увеличении радиуса Ψ ² уменьшается, стремясь к нулю (рис. 2).

Рисунок 2. Зависимость квадрата волновой функции от радиуса

Решение уравнения Шредингера очень трудная задача, так как оно имеет бесконечное число решений из-за того, что энергия электрона принимает бесконечное число квантовых значений. Несмотря на это решения можно разделить на три серии. Они будут объединяться значениями квантовых чисел.

В данной статье рассматривались теоретические вопросы применения основного уравнения квантовой механики или же уравнения Шредингера. В ходе этого было показано, что математический аппарат решения уравнений с производными позволяет эффективно решать химические задачи по квантовой механике, то есть определять координаты частицы и ее местонахождение в электронном облаке.

Список литературы:

1. Трофимова, Т. И. Курс физики [Текст] : учеб. пособие для инж.-техн. специальностей вузов. – 14-е изд. – М.: Академия, 2007. – 560 с.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по техн. (550000) и технолог. (650000) направлениям. В 3-х т. Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. – Изд. [7-е и 8-е], стереотип. – Спб. : Лань, 2007. – 320 с.
3. Шпольский, Э. В. Атомная физика [Текст]: в 2 т. Т. 1 : Введение в атомную физику : учебник для вузов. – Изд. 8-е, стереотип. – СПб.: Лань, 2010. – 560 с.
4. Шпольский, Э. В. Атомная физика [Текст] : в 2 т. Т. 2 : Основы квантовой механики и строение атома : учебник для вузов. – Изд. 6-е, стереотип. – СПб.: Лань, 2010. – 448 с.
5. Тарасов Л.В. Основы квантовой механики - М. [Текст]: ЛКИ, 2008.