ФРАКТАЛЫ

FRACTALS

Semyon Gorshkov

student, specialty "Finance", Shadrinsky Branch of the Financial University under the Government of the Russian Federation,

Russia, Shadrinsk

Natalia Murzina

Scientific Supervisor, mathematics teacher, teacher of the highest category, Shadrinsky Branch of the Financial University under the Government of the Russian Federation,

Russia, Shadrinsk

АННОТАЦИЯ

Фракталы - геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством само подобия. Фракталы можно найти не только в математике, но и в природе. У них есть множество отличительных признаков и видов, рассмотрение которых является очень интересным.

ABSTRACT

Fractals are geometric objects: lines, surfaces, spatial bodies that have a strongly indented shape and have the property of self-similarity. Fractals can be found not only in mathematics, but also in nature. They have many distinctive features and species, the consideration of which is very interesting.

Ключевые слова: фракталы, Бенуа Мандельброт, алгебраические фракталы, геометрия, биоморфы, множество, математика.

Keywords: fractals, Benoit Mandelbrot, algebraic fractals, geometry, biomorphs, set, mathematics.

В 1970-х годах французский математик Бенуа Мандельброт открыл для себя новый взгляд на природу и мир в целом. За основу он взял очень простую идею: бесконечное разнообразие форм и красоты возможно получить из простых конструкций всего двумя операциями – копированием и масштабированием. Таким странным и повторяющимся формам, маленький кусочек которых выглядит в точности как объект целое, Мандельброт в 1975 году дал название - фракталы и стал основоположником нового раздела математики - фрактальной геометрии. [4, с. 6]

Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством само подобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. [4, с. 12]

В настоящее время нет однозначного определения «фрактала». Следуя Лаверье [5], фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал - это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия.

Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» - фракталом.

Фрактал -  это такое множество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической.

В первом определении слово «фрактал» —это от латинского «fractus», означающее изломанный. Во втором определении оно связано с английским «fractional» -дробный. [2, с. 7-8]

В окружающей нас природе фрактальные структуры с той или иной степенью детализации можно найти практически везде. Очевидно, отчасти это связано с тем, что многие органические и неорганические формы образуются одинаково.

Объекты, похожие на фракталы, включают облака, электрические разряды в воздухе, ракушки, кроны деревьев, кровеносные и дыхательные пути, береговые линии, горные хребты, зимние узоры на стекле, трещины в некоторых скалах и т.д. — на самом деле, список можно продолжать бесконечно.

Рассмотрим, например, отдельную ветвь дерева. Её тщательное изучение наверняка натолкнет на мысль, что своими ветвями и развилками оно очень похоже на дерево. Это сходство между отдельной частью (ветвью) и целым (деревом) говорит в пользу распространенного в природе принципа рекурсивного самоподобия. Следовательно, различные естественные формы могут быть описаны с помощью фрактального алгоритма.

Фрактальное множество обладает следующими основными свойствами:

• имеет тонкую структуру, (содержит произвольно малые масштабы);
• слишком неправильная форма, чтобы ее можно было описать на традиционном языке геометрии;
• имеет некоторую форму самоподобия, в том числе приблизительную или статистическую;
• в общем, фрактальная размерность больше, чем топологическая размерность;
• в большинстве интересных случаев он определяется очень просто, например, рекурсивно. [6]

Бенуа Мандельброт говорил: «Фрактал - это математический набор или конкретный объект, который нерегулярен или фрагментирован на всех уровнях»

По типу фрактальных алгоритмов фракталы делятся на детерминированные (алгебраические и геометрические) и стохастические. Детерминированные алгоритмы абсолютно воспроизводимы. Они дают идентичные изображения независимо от числа повторений. [3, с. 6]

Алгебраические фракталы

Это самая большая группа фракталов. Они получены нелинейными процессами в n-мерных пространствах. Двумерные процессы изучены лучше всего. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно использовать терминологию теории этих систем: фазовый портрет, установленный процесс, аттрактор и т. Д. Состояние, в котором находится динамическая система после некоторого количества итераций, зависит от ее начального состояния. Следовательно, каждое устойчивое состояние (или, как говорят, аттрактор) имеет диапазон начальных состояний, из которых система обязательно попадает в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы делится на области притяжения аттракторов. Если фазовое пространство представляет собой двумерное пространство, вы можете получить цветной фазовый портрет этой системы (итеративный процесс), раскрасив области притяжения разными цветами. Если изменить алгоритм выбора цвета, то можно получить сложные фрактальные узоры с причудливыми разноцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность создания очень сложных, нетривиальных структур с помощью примитивных алгоритмов.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.1 и рис.2). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности.

В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет). [1, с. 38-39]

Рисунок 1. Множество Мандельброта

Рисунок 2. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Приведенный выше алгоритм дает приблизительное значение так называемого количества Мандельброта. Набор Мандельброта принадлежит точкам, которые не переходят в бесконечность для бесконечного числа итераций (точки, которые являются черными). Точки, принадлежащие границе набора (где создаются сложные структуры), переходят в бесконечность после конечного числа итераций, в то время как точки за пределами набора переходят в бесконечность (белый фон) после нескольких итераций.

Алгебраические фракталы включают биоморфы (рис.3). Этот термин был предложен Клиффордом Пикоувером для обозначения специально сконструированных алгебраических фракталов, которые выглядят как одноклеточные организмы.

Рисунок 3. Биоморфы [3, с. 12]

Каждый биоморф строится путем многочисленных итераций. На каждом шаге итерационного процесса результат предыдущего шага принимается за исходное значение переменной. Когда уравнение интерпретируется графически на комплексной плоскости, результатом оказывается фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной. Биоморфы можно рассматривать как сокращённую версию множества Жюлиа. [3, с. 12]

Список литературы:

1. Кононюк А. Е. Дискретно-непрерывная математика. (Поверхности).
2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр.
3. Терехова Н.Ю. Фрактальная графика: методические указания к лекциям и лабораторным работам по курсу «Основы графического дизайна» М.:МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 г.- 24 с.
4. Фракталы и мультифракталы, Божокин С.В., Паршин Д.А., 2001.
5. Lauwerier H. A. Fractals - images of chaos. — Princetion Univ. Press, 1991.
6. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Applications. – New York: John Wiley. 1990.