КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

​CLASSIFICATION OF OPTIMAL SOLUTION METHODS

Alena Yarygina

Student, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

Sergey Makarov

Scientific adviser, Professor Samara State University of Economics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются основные методы оптимальных решений. Раскрыты понятия линейного, нелинейного и динамического программирования.

ABSTRACT

This article discusses the main methods of optimal solutions. The concepts of linear, non-linear and dynamic programming are revealed.

Ключевые слова: методы оптимальных решений, программирование, оптимальные задачи.

Keywords: methods of optimal solutions, programming, optimal problems.

Введение

Оптимальное решение – это решение, которое по определенным критериям является наиболее подходящим в конкретной ситуации. Сущность оптимального решения заключается в выборе наиболее предпочтительного варианта из всех существующих. Мерой предпочтения обычно выступает показатель качества. Отличительной особенностью оптимального решения является его конкретика, то есть, подбор решения осуществляется согласно определенным критериям.

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности. В экономике они предшествуют созданию производственных и хозяйственных организаций, обеспечивают их оптимальное функционирование и взаимодействие. В научных исследованиях – позволяют выделить важнейшие научные проблемы, найти способы их изучения и получения знаний в этой сфере, предопределяют формирование экспериментальной базы и теоретического аппарата. При создании и формировании новой техники – составляют важный этап в проектировании машин, приборов, устройств, зданий, в разработке технологии их построения, реализации, функционирования и эксплуатации; в социальной сфере – используются для организации взаимодействия и развития социальных процессов, их координации с хозяйственными и экономическими процессами. Оптимальные решения позволяют достигать высоких целей при минимальных материальных затратах, трудовых, а также сырьевых ресурсов.

Применение методов оптимальных решений в настоящее время набирает значительные обороты. В наше время это раздел математики, который изучает теорию и методы поиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как на одном определенном предприятии, так и в некоторых отраслях или в отдельном регионе, или в целом государстве.

Все оптимальные задачи можно разделить на разные группы по следующим признакам:

• По количеству локальных критериев в целевой функции методы нелинейного программирования подразделяются на однокритериальные и многокритериальные;
• По длине вектора методы делятся на однопараметрические или одномерные и на многопараметрические или многомерные;
• По наличию ограничений методы нелинейного программирования подразделяются на без ограничений и с ограничениями;

Основными методами оптимальных решений являются линейные и нелинейные.

Линейное программирование (ЛП) — это метод оптимизации моделей, в которых целевые функции и ограничения строго линейны. ЛП успешно применяется в военной области, индустрии, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, экономике, системе здравоохранения и даже в социальных науках. Широкое использование этого метода также подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами, реализующими данный метод. На алгоритмах линейного программирования (учитывая их компьютерную эффективность) базируются оптимизационные алгоритмы для других, более сложных типов моделей и задач исследования операций, включая целочисленное, нелинейное и стохастическое программирование.

К моделям линейной оптимизации относятся задачи на максимум или минимум линейной целевой функции множества переменных при ограничениях на них в виде линейных равенств или неравенств. В свою очередь в линейном программировании существует графический метод решения задач линейного программирования, алгебраический метод, симплекс-метод для решения задач линейного программирования, метод искусственного базиса, а также метод Гомори и другие.

Многие зависимости между экономическими показателями имеют нелинейный характер. Например, спрос на товар как функция его цены, зависимость между объемом выпуска продукции и количеством затраченных на нее ресурсов и т. п. Учет этого обстоятельства при построении оптимизационной модели приводит к задаче нелинейной оптимизации, называемой также задачей нелинейного программирования.

Пример.

Компания ReddyMikks производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: M1 иM2. Следующая таблица представляет основные данные для задачи.

Таблица 1.

Данные компании ReddyMikks

Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 тонн (из-за отсутствия надлежащего спроса), а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ не превышало более чем на тонну аналогичный показатель производства краски для внешних работ. Компания хочет определить оптимальное (наилучшее) соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода.

В примере необходимо определить ежедневные объемы производства краски для внутренних и наружных работ. Обозначим эти объемы как переменные модели:

Используя эти переменные, далее строим целевую функцию. Целевая функция, как суммарный ежедневный доход, должна возрастать при увеличении ежедневных объемов производства красок. Обозначим эту функцию через z (она измеряется в тысячах долларов) - . В соответствии с целями компании получаем задачу: максимизировать .

Итак, остался неопределенным последний элемент модели — условия (ограничения), которые должны учитывать возможности ежедневного потребления сырья и ограниченность спроса на готовую продукцию. Ограничения на сырье можно записать следующим образом:

Из таблицы с данными имеем следующее:

Поскольку ежедневный расход сырья Ml и М2 ограничен соответственно 24 и 6 тоннами, получаем следующие ограничения:

Существует еще два ограничения по спросу на готовую продукцию. Первое ограничение указывает, что ежедневный объем производства краски для внутренних работ не должен превышать ежедневный объем производства краски для наружных работ более чем на одну тонну, т. е. 1 . Второе ограничение простое — максимальный ежедневный объем производства краски для внутренних работ не должен превышать 2 т — и записывается как . Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные должны быть неотрицательными. Таким образом, к сформулированным выше ограничениям необходимо добавить условие неотрицательности переменных: .

Окончательно задача будет записана следующим образом: максимизировать при выполнении ограничений:

Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, является допустимым. Например, решение будет допустимым, так как не нарушает ни одного ограничения, включая условие неотрицательности. Чтобы удостовериться в этом, подставьте значения в левые части неравенств системы ограничений и убедитесь, что ни одно неравенство не нарушается. Значение целевой функции при этом решении будет равно  (тыс. долл.).

Таким образом, можно сделать вывод, что задача имеет много допустимых решений. По этой причине невозможна подстановка значений переменных для поиска оптимума, т. е. нельзя применить простой перебор всех допустимых решений. Следовательно, необходима эффективная процедура отбора допустимых решений для поиска оптимального.

Нелинейное программирование – это раздел математического программирования, изучающий способы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией, и областью допустимых значений, определенной нелинейными ограничениями.

Для решения задачи нелинейного программирования были предложены множество методов, среди которых можно выделить следующие:

• методы прямого поиска, то есть методы, в которых при поиске экстремума целевой функции используются только ее значения;
• градиентные методы первого порядка, в которых при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных;
• градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные;

Ни один метод нелинейного программирования не является универсальным. В каждом конкретном случае необходимо использовать применяемый метод к особенностям решаемой задачи.

Одним из разделов оптимального программирования также является динамическое программирование, которое представляет собой математический аппарат, который в свою очередь подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, на небольшие и менее сложные задачи.

Для него характерны специфические методы и приемы, применяемые к операциям, в которых процесс принятия решения разбит на этапы или шаги.

Методами динамического программирования решаются вариантные оптимизационные задачи с заданными критериями оптимальности, с определенными связями между переменными и целевой функцией, выраженными системой уравнений или неравенств. При этом, также, как и в задачах линейного программирования, ограничения могут быть даны в виде равенств или неравенств.

В заключении можно сделать вывод, что методы оптимальных решений широко применяются во всех сферах деятельности. Играют большую роль в принятии оптимального решения, как в производственной, технической, так и в социальной сфере. С применением методов оптимальных решений, задачи в различных сферах экономики можно решить значительно быстрее и проще. Так как целью любой организации или предприятия является максимизация прибыли, и сокращение затрат на реализацию продукции. В наше время в развитые организации нанимаются инженеры и специалисты в сфере математического анализа, которые имеют большие знания в этой области. Они строят качественную модель рассматриваемой проблемы, выявляют факторы, влияющие на эту модель, и ищут оптимальное решение данной задачи, тем самым позволяя предприятию или организации расширяться и эффективно функционировать.

Список литературы:

1. Шалашинин, В. И. Методы оптимальных решений/ В.И. Шалашинин, Е. Б. Кузнецов. - М.: Едиториал УРСС, 2015 https://volpi.ru/files/vpf/vpf_library/Metody_prinjatija_optimalnykh_reshenii.pdf
2. Каштаева С. В. Методы оптимизации учебное пособие
3. Батищев, Д. И. Методы оптимального проектирования. Учебное пособие / Д. И. Батищев. - М.: Радио и связь, 2015
4. Соколов, А. В. Методы оптимальных решений. В 2 томах. Том 1. Общие положения. Математическое программирование и моделирование / А. В. Соколов, В.В. Юков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014