АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОКУПКЕ АВТОМОБИЛЯ В РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ: ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN THE PROBLEM OF OPTIMAL CAR PURCHASE IN THE ROSTOV REGION: CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL

Vladislav Piskovatskov

student, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

Natalia Azimova

senior lecturer, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

Построение математической модели, техника и средства ее идентификации.

ABSTRACT

Construction of a mathematical model, technique and means of its identification.

Ключевые слова: автомобиль, цена, возраст, пробег, математическая модель, независимые переменные, связь переменных, коэффициент корреляции.

Keywords: car, price, age, mileage, mathematical model, independent variables, relationship of variables, correlation coefficient.

В качестве шаблонной зависимости Ц (К, В, П, ЧВ, ξ) выберем следующую:

Ц(К, В, П, ЧВ, ξ) = α∙lg(K) + β∙lg(В) +γ∙lg(П)+δ∙lg(ЧВ) + ε ,                               (1)

где α, β, γ, δ – коэффициенты, отвечающие степени влияния на цену класса, возраста, пробега и числа владельцев соответственно; ε – некоторая характерная цена данной марки, ξ – некий параметр, характеризующий случайную составляющую в структуре цены на автомобиль.

Таким образом ставится задача поиска неизвестных коэффициентов модели (1), которые обеспечат максимально близкое ее соответствие фактическим данным. В простейшем случае имеем задачу безусловной многопараметрической оптимизации, относящейся к классу задач математического программирования:

Ф (α, β, γ, δ, ε) = ,                       (2)

где Ф – функционал, рассматриваемый как функция искомых параметров α, β, γ, δ и ε; i – номер объявления на avito.ru о продаже автомобиля данной марки; Ц_(факт i) – запрашиваемая в i-ом объявлении цена.

При дополнении модели (1) различными ограничениями (типа равенств и/или неравенств) задача переходит в класс задач условной оптимизации. Отыскивать решение получаемых постановок позволяют следующие методы: 1) классический аналитический; 2) регулярного перебора; 3) случайного перебора; 4) бокса; 5) градиентного и 6) покомпонентного спуска, а также 7) биоинсперованый генетический алгоритм.

Выполненный в первом разделе предварительный анализ данных позволил задать удачные начальные приближения для коэффициентов α, β, γ, δ и ε, чем обеспечил успешное их уточнение встроенными процедурами. Для обеспечения надежности результата решение находилось несколькими различными методами из числа встроенных в пакет. При этом результаты практически совпадали. Результаты вычислений приведены на рис. 1.

Рисунок 1. Значения подгоночных коэффициентов модели

О погрешности модели (1) свидетельствуют данные рис. 2, на котором приведено относительное отличие фактической цены каждого продаваемого автомобиля от цены, определяемой нашей моделью. Видно, что случайная составляющая ξ в структуре цены играет важную роль. Практически это означает, что удачность покупки существенно зависит от «повезет – не повезет». Вытекающий из выполненного математического анализа результат о практически случайном характере цены на автомобили вторичного рынка хорошо согласуется с житейским опытом.

Рисунок 2. Погрешность модели

Список литературы:

1. Бундаев В.В. Решение задач линейной оптимизации с использованием MathCad и Excel.: Издательство ВСГТУ, 2006. – 12с.