МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

​MECHANICAL APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL

Maxim Gorbunov

master's student, Institute of Applied Informatics, Mathematics and Physics, Armavir State Pedagogical University,

Russia, Armavir

Tatyana Tarasova

scientific supervisor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics, Physics and Teaching Methods, Armavir State Pedagogical University,

Russia, Armavir

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена методическим особенностям изучения физического приложения определённого интеграла в рамках курса «Алгебры и начала анализа».

ABSTRACT

The article is devoted to the methodological features of studying the physical application of a definite integral within the framework of the course "Algebra and the Beginnings of Analysis".

Ключевые слова: методика преподавания, интеграл, приложения определённого интеграла, механические приложения, работа переменной силы, путь, пройденный телом.

Keywords: teaching methods, integral, applications of a definite integral, mechanical applications, work of a variable force, path traveled by a body.

В школьном курсе «Алгебры и начала анализа», как правило в зависимости от учебного пособия вводится две темы, посвящённые физическому смыслу приложения определённого интеграла – это нахождение пути, пройденного телом и работы переменной силы.

При нахождении координаты по заданной скорости и скорости по заданному ускорению, можно вместе с учащими провести вывод данной формулы. Так как , то координата  есть одна из первообразных скорости .

Поэтому формула примет вид

причём данная формула — это не что иное, как формула Ньютона – Лейбница

при  и .

Таким образом вывод формулы, позволит осуществить повторение раннее изученной темы, и позволит провести линию межпредметной связи с курсом физики. Упражнения данного пункта рассчитаны на применение полученной формулы для нахождения скорости и ускорения точки при движении по прямой.

Рассмотрим пример такой задачи [2, с. 89].

441. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от   до , если скорость точки меняется по закону . Найдите ускорение этой точки в конце пути. (т. е. при ).

Решение.

Путь, пройденный точкой за промежуток от  до ,  – это . По формуле ,

.

Ускорение – производная скорости по времени:

 и .

Ещё один пункт который может быть рассмотрен в рамках изучения темы «Интеграл», связанный с физическим смыслом является нахождение работы переменной силы. Из курса физики мы помним, что работа равна произведению действующей на материальную точку силы  на пройденный путь . Пусть материальная точка под действием силы  движется по прямой по оси , проекция которой на ось  есть функция от  – обозначим её через . При этом мы будем предполагать, что  есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка изменим своё положение на координатной прямой, переместится из точки  в точку  (рис. 1).

Рисунок 1. Перемещение материальной точки под действием силы.

В данном случае работа подсчитывается по формуле

Разобьём отрезок  на  отрезков одинаковой длины

 (рис. 2).

Рисунок 2. Разбиение отрезка .

Работа силы на отрезке  равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как  есть непрерывная функция от , то при достаточно малом отрезке  работа силы на этом отрезке приблизительно равна  – мы пренебрегаем тем, что  на отрезке меняется. Аналогично работа силы на втором отрезке  приблизительно равна , и так далее. Работа силы на -м отрезке приблизительно равна . Следовательно, работа силы на всём отрезке  получается приближенно

и точность приближённого равенства тем больше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок .

С математической точки зрение определение работы переменной силы есть стремление  к , что приводит к обобщению формулы работы постоянной силы. Из естественных физических соображений следует, что при малых изменениях в силе, действующей на материальную точку, изменения в работе также будут малы. То есть производя приближённые вычисления работы сила в каждой точке отрезка  отличается от истинного значения меньше чем на , то работа на всём отрезке не может отличаться от точного значения больше чем на  [4, с. 97-98].

Далее после рассмотрения пункта, учащимся предлагается решения ряда упражнений, которые можно разделить на две группы:

1) упражнения, рассчитанные на применение формулы работы переменной силы, и 2) упражнения, приводящие к аналогичным рассуждениям при выводе формулы работы переменной силы.

Рассмотрим пример разбора задачи, относящейся к первой группе.

Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу необходимо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

По закону Гука сила , растягивающая пружину на величину , вычисляется по формуле

где  – постоянный коэффициент пропорциональности (рис. 3)

Рисунок 3. Изменение положения пружины под действием силы.

точка  соответствует свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что

Следовательно, и сила , а работа по формуле

Список литературы:

1. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы: учебное пособие для общеобразовательных организаций. / А. Н. Колмогоров, А. М, Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 2018. – 384 с.
2. Колмогоров, А. Н Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова / А. Н. Колмогоров, О. С. Ивашев – Мусатов, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурда М.: Просвещение, 1976. – 270 с.
3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Письменный – М.: АЙРИС-пресс, 2015. – 288 с.
4. Шварцбурда, С. И. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Пособие для учителей. Под ред. С. И. Шварцбурда / Б. М. Ивлев, З. И. Моисеева, С. М. Саакян, С. И Шварцбурд М.: Просвещение, 1976. – 240 с.