ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ В МЕТОДЕ КРАМЕРА – ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

В статье излагается новый взгляд в определении детерминантных функционалов квадратных матричных уравнений над телом совокупности расширений вещественных чисел, создающих математическую структуру набора векторов, имеющих размерность четыре значения над полем действительных чисел. Путем анализа классического и присоединённого значения отображается противоположное матричное уравнение в виде прямоугольной таблицы элементов над телом кватернионов. С иной стороны изучены правила Крамера с целью определения правых и левых кватернионных системно- линейных уравнений.

При выведении вариантов с применением правил Крамера путь к решению системно- линейных уравнений выполняется ряд формальных действий над системной формой каждого уравнения. Умножение всякого уравнения системы на соответственное дополнительное значение, затем в процессе складывания левой и правой части уравнений приводят к итоговому результату, которые не будут иметь ясной логики, и в итоге потребуют запоминания целой последовательности действий. Это снижает наглядность методики решения, точнее, процедуры получения результата через метод применения формул Крамера.

Рассмотрим квадратную систему трех линейных уравнений

                                                                 (1)

с невырожденной основной матрицей

                                                      (2)

Предположение  означает совместность системы (1). Введем в рассмотрение матрицу

                                                                                  (3)

Детерминант которой и найдем произведение матриц  получим

.                     (4)

С другой стороны, применим к матричному равенству теорему умножения определителей , получим

                                  (5)

Обозначим  – вспомогательный определитель и приравняем (4) и (5), получим Учитывая, что  получим формулу Крамера

Повторим процедуру для матриц

И введем вспомогательные определители

Получим остальные формулы Крамера

Данная методика легко обобщается на случай квадратной системы линейных уравнений произвольной размерности

                                               (6)

В данном случае введем матрицу  которая получается из единичной замены  столбца на столбец неизвестных значений.

                                              (7)

Произведение матриц  равно матрице вспомогательного определителя

Применяя теорему умножения определителей к равенству  получим  и формулы Крамера

                                                             (8)

Стоит отметить относительную единственность решения системы. Если определитель  системы (6) не равен нулю, то, согласно формулам Крамера (8) решение единственное. Стоит предположить, что наряду с решением  системы (6) существует какое-либо другое решение В этом случае, вместо матрицы (7) возьмем аналогичную функцию, но заменим  на .

В результате будет получено решение Что совпадает с формулами (8).

Обычно единственность решения доказывается аналогично от противного, предполагая, что кроме решения  существует какое-либо другое решение  системы (6). Эту систему стоит записать в краткой форме, используя соглашение о суммировании [5].

Подставив эти решения в систему, получаем две системы тождеств  и . Вычитая почленно соответствующие равенства, будет получена однородная система с отличным от нуля определителем . Система имеет тривиальное решение , откуда  для всех .

Теоретический материал определителей уравнений вида  с данными из кольца с операцией коммутативного умножения, возникает из-за проблемной зоны с неопределенностью системы группировки геометрических точек на плоскости, процессы нахождения вариантов решений изложены в трудах математика Габриэля Крамера,  пытавшегося  найти единственно правильный вариант в решении нескольких СЛАУ. Впоследствии ряд формул Крамера способствовали появлению методов вычисления нескольких определителей в зоне кольца и полукольца, а также нахождению значений в зоне полей и тела.

Существует несколько методов решения СЛАУ с применением правил Крамера, которые взаимосвязаны с правилом разложения определителей, как по столбцам, так и по строкам, в процессе решения отображаются элементы обратной матрице к «А» через алгебраическое дополнение  матрицы «А», которое обозначается:

Где - является дополнительным минором, определителем матрицы, выходящей из исходной матрицы , путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Предложенный подход к изучению правила Крамера является довольно оригинальным способом, и упрощает понимание общепринятого вывода формул Крамера. Появление вспомогательных определителей метода является, пожалуй, единственным продуктом метода и происходит в результате произведения матриц и последующего применения теоремы умножения определителей. Данный подход делает метод простым для понимания.

Первые попытки разобраться с формулами Крамера предпринял Артур Кэли путем введения в процесс решения определителей для системы гиперкомплексных чисел. Именно с 20 века задачи по физике требовали изучения вопросов в сфере высоких технологий и элементарных частиц  в процессе появления целой системы определителей.

Ряд последователей математика Жана Дьёдонне вводят ряд своих разъяснений в отношении термина  гомоморфизм, принадлежащего группе обратимых операций в квадратно матричном уравнении над телом в его факторгруппе на подсистеме значений, это означает описание процесса решения, удовлетворяющего стандартной теореме в определении произведения двух матриц Коши – Бине.

Всякий процесс отображения алгебраической системы «A» начинается с отображения основных операций и отношений в неполной группе квадратичных матричных уравнений. В процессе получаем решение с данными из кольца в другой состав полугруппы с набором бинарных операций с единичным значением. Получим таблицу квадратичных данных, которая имеет свойства прибавляемых значений в столбцах и строках. В полученной таблице будем наблюдать левую однородную идентичность в строках и правую однородность значений в столбцах, обладающих в определенном месте антиперестановочностью. Это разрешает полагать обратимый процесс решения математического объекта «A», эквивалентного заданному требованию .

Список литературы:

1. Dieudonne’ J. Les determinants sur un corps noncommutatiff // Bul. Soc. Math. France. 2014. Vol. 71. P. 27–45.
2. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 2017. 284 с.
3. Делоне В.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия, том 1, Гостехиздат, 2010, 592 с.
4. Дуплий С. А., Котульская О. И. Квазидетерминанты, некоммутативные детерминанты и необратимые супер-матричные структуры // Вестн. Харьков. национальногоун-та. 2013. Т. 585, вып. 1, 21. С. 19–28.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии- 272 с.
6. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра ФМЛ, 2013 - 157 с.
7. Кирчей И. И. Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 13, № 4. С. 67–94.
8. Мироненко Л.П. Соглашение о суммировании в линейной алгебре. – Cб. Науково-методичних робіт - Донецьк: ДонНТУ. 2009, вип. 6, с.85-92.
9. Понизовский И. С. Об определителе матриц с элементами из некоторого кольца // Мат. сборник. 2014. Т. 45 (87), № 1. C. 3–16.
10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия, Изд. ФМЛ, Москва, 2016. - 272 с.
11. Соколов О. Б. Применение булевых определителей к анализу логических многополюсников // Ученые записки Казанск. госун-та. 2013. Т. 123, № 6. С. 155–164.