ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

​THE CONCEPT OF A DERIVATIVE FUNCTION

Svetlana Maslekha

Student, Department of Physical and Mathematical Disciplines and Vocational and Technological Education, P. P. Yershov Ishim Pedagogical Institute (branch) Tyumen State University,

Russia, Ishim

Nikolai Gorbachev

Student, Department of Physical and Mathematical Disciplines and Vocational and Technological Education, P. P. Yershov Ishim Pedagogical Institute (branch) Tyumen State University,

Russia, Ishim

АННОТАЦИЯ

На сегодняшний день производная является одним из базовых математических понятий, которое используется при решении огромного множества различных задач по физики, математики и в других областях.

ABSTRACT

To date, the derivative is one of the basic mathematical concepts that is used in solving a huge variety of different problems in physics, mathematics and other fields.

Ключевые слова: производная функции, функция, математический анализ.

Keywords: derivative of a function, function, mathematical analysis.

Возникновение понятия производной берёт своё начало в 17 веке и в современной математике не теряет свою актуальность. На сегодняшний день производная является одним из базовых математических понятий, которое используется при решении огромного множества различных задач по физики, математики и в других областях, исторически же её появление связывают с двумя задачами, а именно: с задачей проведения касательной к кривой и задачей нахождения скорости движения.

В начале 17 века, а именно в 1629 году французский математик и юрист П. Ферма (1601 – 1665) отыскал возможный способ поиска наибольшего и наименьшего значения функции и проведения касательных к произвольно взятым кривым, в основе которых лежало применение производных. Научная переписка П. Ферма и другого французского математика и философа Р. Декарта, который в 1637 году разработал метод координат и основы аналитической геометрии, привела к разработке и развитию понятия касательной, рассматриваемой в виде предельного положения секущей. Благодаря работам этих математиков было открыто интегральное исчисление, а также его постепенное обоснование [5, с.84].

Исходя из вопросов механики, английский учёный И. Ньютон в 1666 году разработал теорию производных, названую дифференциальным исчислением, которая заключалась в том, что аргумент функции был рассмотрен в качестве времени, где функция времени – флюента, то есть текущая величина, а её производная рассматривалась как скорость течения, изменения функции и была названа флюксией.

С 17 по середину 19 века математики были уверенны, что любая непрерывная функция имеет производную. Данное мнение основывалось на том, что непрерывная кривая была представлена как траектория движения тела, а производная – скорость движения, из чего следовал вывод, что всякое движение имеет определённую скорость, однако, немецкий математик К. Вейерштрасс (1815–1897) в 1875 году доказал, что данное мнение не доказывает наличие производной для каждой непрерывной функции. Он построил пример непрерывной функции, которая не имела производной ни в одной точке, что геометрически означает: кривая непрерывна, но ни в одной точке не имеет касательной.

Касаемо обозначения производной, математиками постепенно были предложены разнообразные варианты, например, Л. Эйлер (1707 – 1783) в середине 18 века предложил при обозначении приращения переменной величины пользоваться греческой буквой , то есть

,

и т.д., Г. Лейбниц, в свою очередь, обозначил производную через , или , или .

Слово «производная» произошло из буквенного перевода на русский язык французского слова «derivce», по первой букве которого О. Коши обозначал производную символом  или [4, с.93].

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

 или .

Функция , для которой существует производная в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой в этом интервале; процесс нахождения производной функции называется дифференцированием [1, с.314].

Пример 1[3, с.164]. Найти производную функции , .

Решение. Сначала значению  придаём следующее приращение , после чего находим функции :

,

из чего следует, что , а это значит, что

, т.е. .

Пример 2[2, с.165]. Найти производную функции .

Решение. По аналогии, аргументу  сначала даём приращение, затем, следующим образом, находим :

;

после чего составляем отношение :

.

Далее находим предел полученного отношения:

, т.е.

.

Список литературы:

1. Выготский М.Я. Справочник по элементарной математики// М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954 г. с/ 412.
2. Виленкин, Н.Я. Задачник по курсу математического анализа: учеб. пособие для пед. ин-тов в 2 ч. Ч. 1 // М.: Просвещение, 1971. С. З43.
3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч.1// М.: Айрис-пресс, 2011. С. 288.
4. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: в 2 ч. Ч.1// СПб: Лань, 2001. с. 448.
5. Элементы линейной и векторной алгебры /О.Г. Вишневская [и др.] Минск: БНТУ, 2008. с.103.