МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ КОНКУРИРУЮЩИХ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ

Современная биотехнология представляет собой очень наукоемкую отрасль, которую невозможно представить без достижения не только биохимии, микробиологии, молекулярной биологии, генетики, но и ряда других наук, например физики, химии, информатики. Математика же – неоспоримая основа и инструмент для исследований, нашедших применение в биотехнологии. Тесное переплетение множества отраслей научного знания позволяет человеку создавать удивительные вещи и изучать их. В современной биотехнологии математические модели необходимы, так как с их помощью можно описать сложнейшие технологические процессы в биологии и предположить их дальнейшее развитие. Также ни одно производство, использующее живые организмы, не может обойтись без подобных вычислений. Поэтому математическое моделирование – это важная часть современных научных исследований и привычных технологий в промышленности.

Микробные популяции – очень привлекательный объект для эволюционных  исследований, так как имеют большую скорость размножения, прироста биомассы и микроэволюционных процессов. Исследования с одноклеточными микроорганизмами интересны еще и потому, что обладают высоким отношением поверхности к объему и поэтому высокой интенсивностью обмена с окружающей средой. Для микробных популяций вполне справедливо понятие концентрации,  что помогает в математическом описании. Все базовые модели математической биологии применимы к микробным популяциям. Как правило, их описывают системой обычных дифференциальных уравнений.

Рассматривается нелимитированный рост непрерывной культуры клеток в культиваторе для использования в исследованиях микроэволюционных процессов.      

Непрерывными называются культуры, в которые постоянно добавляются питательные среды при постоянном удалении части биомассы. Это имитирует естественные проточные системы. Однако условия при культивировании задаются человеком. Для микроорганизмов эти условия выращивания относительно  просты: жидкая среда, в качестве которой может быть раствор солей и простых органических соединений. Культуре требуется постоянная температура и перемешивание, а также постоянное поступление стерильной среды. При построении моделей равноправными переменными выступают концентрации микроорганизмов, неорганических и органических веществ (субстратов, продуктов, ферментов).

Для культуры существует какой-либо главный лимитирующий фактор, эмпирическим путем выясняется зависимость скорости роста популяции от его концентрации. В данном случае лимитирующим фактором является концентрация субстрата. В этом случае стационарный режим культиватора саморегулируется. Однако с помощью внешних регуляторов возможно установление стационарного состояния, при котором происходит поддержание культуры в области нелимитированного роста. В таком состоянии процессы вымывания и размножения популяции должны быть уравновешены. Стабилизировать скорость роста при непрерывном культивировании можно подбором скорости протока. Для этого существует несколько способов, главным свойством которых является обратная связь между приростом концентрации биомассы и удалением части популяции. При нелимитированном росте популяции скорость прироста биомассы определяется лишь генетической способностью к воспроизводимости. Микроорганизмы имеют очень высокие скорости размножения, которые крайне важны при микроэволюционных исследованиях.

Рассмотрим базовые процессы, происходящие в культиваторе при выращивании популяции, на примере математической модели, разработанной в 1950 году французским микробиологом Жаком Моно. Ему удалось не только разработать метод непрерывного культивирования бактерий, но и теоретически обосновать его. Данный метод нашел широкое применение в лабораторной практике и промышленности. Многие труды Моно были посвящены изучению роста микроорганизмов и механизма регуляции синтеза белка у бактерий.

С помощью дифференциального уравнения можно описать кинетику концентрации клеток в непрерывной культуре в виде [2, 240 с.]:

,                                                                 (1)

где x – концентрация клеток в культиваторе;

µ – функция размножения популяции;

y  –  концентрация субстрата;

Ｔ–  температура;

 –  показатель кислотности среды;

  – скорость вымывания.

В хорошо перемешиваемой культуре , где ｗ– скорость протока, если объем культиватора равен V, а скорость притока f, то величина, называемая разбавлением, определяется как

,              и тогда скорость вымывания                          (2).

При неограниченных ресурсах питательных веществ величина µ постоянна, и уравнение (2) описывает экспоненциальный рост популяции клеток. Если же какие-либо причины начинают лимитировать рост, величина µ будет уменьшаться. Для микробиологических систем обычно величина, лимитирующая рост, это концентрация субстрата. Учитывается насыщение скорости роста культуры по питательному субстрату в виде дифференциального уравнения первого порядка [3, 18 с.]:

                                                                                                 (3)

– максимальная скорость роста микроорганизмов при данных условиях;

 – константа, численно равная концентрации субстрата, при которой скорость роста культуры равна половине максимальной.

Объем культиватора можно считать однородно заполненным при постоянном перемешивании. Таким образом, концентрация субстрата и клеток одинакова в каждой точке и может быть описана с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

,

,                                                 (4)

,

S – концентрация субстрата;

– максимальная скорость роста микроорганизмов при данных условиях;

 – постоянная величина, численно равная концентрации субстрата, при которой скорость роста культуры равна половине максимальной;

 – концентрация субстрата, поступившего в культиватор;

D – скорость протока (разбавления) культуры;

 – экономический коэффициент, показывающий, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы.

В первом уравнении  – прирост биомассы за счет поглощения субстрата, –Dx – отток биомассы из культиватора. Во втором уравнении слагаемое  означает количество субстрата, поглощенного клетками культуры, а  – приток субстрата в культиватор, –DS – отток неиспользованного субстрата из культиватора.

Для изучения микроэволюции микробные популяции – идеальный объект благодаря невероятно быстрой смене поколений. При рассмотрении задач, которые требуют изучения нескольких сотен генераций, использование даже  однолетних (например, сельскохозяйственных культур) организмов невозможно, так как время проведения такого исследования может в несколько раз превышать продолжительность жизни исследователя.  При использовании в качестве объекта микроорганизмов, например с временем генерации g=30 минут, где g – период времени от момента образования дочерней клетки до ее следующего деления, наблюдение за 150 генерациями займет всего несколько суток.

Пронаблюдаем процесс восстановления патогенных микроорганизмов после применения антибиотика. Предполагается, что в результате воздействия в микробной популяции большая часть клеток погибает. Так как препарат убивает не все микроорганизмы, в популяции начинает происходить процесс восстановления. Количество живых клеток будет постоянно увеличиваться, а клетки, потерявшие способность к самовоспроизведению и жизнедеятельности, будут постепенно вымываться из культиватора в результате действия протока. В итоге определяющими становятся два процесса – размножение и вымывание. Исходя из активности этих процессов, можно предсказать, когда популяция вернется к активному состоянию.

Простейшая модель, подходящая для решения подобной задачи, предложена специалистом в области биофизики Н.С. Печуркиным [1]. Метод Печуркина предлагает разделить клетки на два типа. Первый тип – живые клетки, способные к размножению. Второй тип – мертвые клетки, утратившие способность к размножению в результате неблагоприятного фактора. Динамика живых и неживых клеток описывается следующей системой уравнений [2, 247 с.]:

                                                                                                        (5)

Здесь – концентрация живых клеток;

– концентрация неживых клеток;

S – концентрация лимитирующего субстрата;

 – функция, характеризующая зависимость скорости роста живых клеток от концентрации лимитирующего субстрата, что и в формуле (1).

В данном случае воздействие неблагоприятного фактора привело к гибели значительной части популяции, это заметно отражается на потреблении субстрата. В начале восстановления его потребление микроорганизмами будет незначительным, и концентрация ощутимо повысится, так как продолжается постоянное поступление субстрата.  Тогда можно считать .

В этом случае первое уравнение для описания субстрата можно не рассматривать. Анализ восстановления системы будет состоять из анализа второго и третьего уравнений системы (5) и алгебраического соотношения для количества живых и неживых клеток в культиваторе: 

В результате решения системы определяется соотношение, с помощью которого возможно вычислить долю живых клеток в популяции в любой момент времени (t) после прекращения воздействия неблагоприятного фактора и начала восстановления системы.

                                        ,                                                 (6)

где – отношение количества живых и неживых клеток в начальный момент времени.

С помощью представленной модели можно оценить время, требующееся для полного восстановления популяции после воздействия на нее неблагоприятного фактора. При использовании нескольких сходных моделей  оценивается конкурентоспособность мутантных форм штаммов культур. Несмотря на то, что частота мутаций, улучшающих определенный признак, очень невысока, мутантные формы за счет действия естественного отбора вытесняют естественные формы. Анализ экспериментальных данных, полученных с помощью таких моделей, позволяет сделать вывод о совместном действии естественного отбора и мутации, а именно: преимущество имеют мутантные формы, способные полно использовать субстрат, а также имеющие пониженные скорости отмирания и увеличенные скорости роста.

Сравним две культуры, имеющие одинаковую функцию, описывающую размножение, и одинаковое  количество времени на восстановление. Одна из культур является естественной формой штамма. Вторая представляет собой мутированную форму этого же штамма бактерий, которая имеет более высокую устойчивость к критическим условиям. В результате воздействия на культуры неблагоприятного фактора естественная форма имеет , в то время как мутированная форма  . И именно изначальным отношением живых и неживых клеток будет определяться восстановление популяции, так как остальные показатели у обеих культур идентичные. На основании этого делается следующий вывод: при конкуренции нескольких микробных культур доминировать будет та культура, которая способна лучше переносить неблагоприятные факторы.

Список литературы:

1. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. – Новосибирск: Наука, 1978. – 276 с.
2. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 232 с.
3. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии.  – Москва-Ижевск, 2003. – 184 с.