АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ

​ALGORITHMS FOR SOLVING THE PROBLEM OF FORCED VIBRATIONS

Maxim Fomich

student, Department of Master's Degree, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассмотрим алгоритмы решения задачи о вынужденных колебаниях.

ABSTRACT

In this paper, we consider algorithms for solving the problem of forced oscillations.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, вынужденные колебания, волновое уравнение.

Keywords:  circular saw, differential equations, mathematical modeling.

Теперь рассмотрим алгоритм решения неоднородной задачи для вынужденных колебаний, причем для простоты выкладок рассмотрим одномерный вариант задачи пониженного (до второго) порядка. Этот алгоритм без каких-либо ограничений распространяется и на наши уравнения, однако выкладки в последнем случае слишком громоздкие и требуют надлежащей автоматизации.

В нашем примере рассматривается однородная струна, заданная на отрезке  и закреплена в левом конце. Правый конец под действием вынуждающей силы колеблется по закону . Опишем алгоритм нахождения скорости в каждой внутренней точки струны, если изначально струна покоилась.

Математическая формулировка задачу можно сформулировать следующим образом:

Найти решение  однородного волнового уравнения

                                       (1)

Однородными начальными

                                    (2)

И неоднородными краевыми условиями

                    (3)

Сведем эту задачу к неоднородному уравнению с однородными граничными условиями. В качестве неоднородности выберем функцию следующего вида.

                                                (4)

Теперь функция

                                     (4)

Будет удовлетворять однородным краевым условиям

                              (5)

Само дифференциальное уравнение для функции  имеет вид

                                   (6)

Находим начальные условия для функции :

 (7)

Таким образом, для того, чтобы найти функцию , надо решить полученное неоднородное уравнение при однородных краевых условиях и новых начальных условиях. После проведенных вычислений получим решение поставленной краевой задачи.

  (8)

Формальное применение метода сведения краевой задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными условиями, хотя и позволило получить решение, считать его здесь оправданным сомнительно. Мы выиграли в одном, но проиграли в другом: до преобразования дифференциальное уравнение было однородным, после – стало неоднородным: начальные условия были нулевыми, после преобразования стали неоднородными. Это обстоятельство заставляет нас искать более простой путь решения заданной задачи, который бы учитывал и характер заданного уравнения, и характер начальных условий.

Будем искать решение задачи в виде суммы

                                     (9)

Где,  – решение однородного уравнения (3.32), удовлетворяющее только краевым условиям (3.34), а  – решение того же уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям

                          (10)

к начальным условиям

 (11)

Легко проверить, что таким образом определенная функция  будет удовлетворять уравнению, начальным и краевым условиям. Учитывая характер краевых условий, ищем решение  в виде

                                  (12)

После определения начальных условий, которым должна удовлетворить функция , надо решить краевую задачу для этой функции с определенными краевыми условиями методом разделения переменных.

Список литературы:

1. Стахиев Ю.М., Устойчивость и колебания плоских круглых пил, М.: Лесная промышленность, 1977. — 296 с.
2. И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнения изд. 5, “Наука”, 1964
3. Уравнения с частными производными, Эванс Л.К., 2003.