НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

CONTINUITY OF THE FUNCTION

Alena Yarygina

Student, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

Sergey Makarov

Scientific supervisor,Professor of the Department of Higher Mathematics and Economic and Mathematical Methods, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена введению понятия «непрерывность функции». В работе более подробно рассматриваются свойства и теоремы непрерывной функции. Необходимый теоретический материал подкреплен примерами. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам.

ABSTRACT

The article is devoted to the introduction of the concept of "function continuity". The paper discusses in more detail the properties and theorems of a continuous function. The necessary theoretical material is supported by examples. The content of the article will be useful for teachers and students.

Ключевые слова: математический анализ, непрерывность функции, свойства непрерывной функции.

Keywords:mathematical analysis, continuity of a function, properties of a continuous function.

Введение

Математика представляет собой одну из самых важных фундаментальных наук. Целью изучения курса математического анализа является изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.Развитие функциональных представлений в курсе изучения математического анализа помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях. В данной работе рассмотрим основные определения, свойства, теоремы с доказательствами и примеры использования теории.

1. Непрерывность функции

Перейдем к рaзбору основногo oпределения непрерывности функции. Пусть функция y =f(x) определена в некоторой окрестности точки a числовой прямой.

Определение 1. Функцию f(x) называют непрерывной в точке a, если в этой точке существует конечный предел фyнкции и он совпадает со значением f(a) в этой точке: . Точку, в которой функция непрерывна, называют точкой непрерывности этой фyнкции. Следует отметить, что предел фyнкции в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и правый, и левый пределы и они равны.

Определение 2. Точка a называется точкой непрерывности фyнкции f(х), если выполнены все следyющие условия:

1. Функция определенa в самой тoчке a (т. Е. существует f(а)) и в некоторой ее окрестности.

2. Существуют односторoнние конечные пределы функции: .

3. Эти односторонние пределы совпадают, т. Е. .

4. Совпадающие односторонние пределы равны значению функции в точке a, т. Е.

В противнoм же случае функция терпит разрыв в этой точке.

Важные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в тoчкеÎa, то cf(x) (с – постоянная), сумма  , произведение f(x)g(x), и частное (при условии, чтоg(a)¹0)являются фyнкциями, непрерывными в точке Îa.

Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна в тoчкеx=a, а функция g(y)непрерывaа в соответствующей точкеy=b=f(a), то сложная функция g(f(x))непрерывна в точке x=a.

Таким образом, операция предельного перехода перестановлена с операцией взятия непрерывной функции, то есть  .

Всякая фyнкция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементaрных фyнкций, называется просто элементарной фyнкцией.

Отсюда выходит важное утверждение. Утверждение 1. Всякая элементaрная функция непрерывна в своей области определения. Таким образом, если точка x=a принадлежит области определения элементарной функции, то значение предела этой функции при x®aсовпaдает с ее значением f(a) в этой точке.

Приведу пример: .

Определение 3. Если функция f(x) не является непрерывной в тoчкеÎa, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x) , а функция f(x) называется разрывной в этой точке.Точки разрыва можно разделить на две группы сoгласно причинам, вызвавшим разрыв. Рассмотрим виды точек разрыва.

Определение 4. Toчка разрыва называется точкой устранимого разрыва, если в ней существует конечный предел , но в точке a функция f(x) либо не определена, либо имеет значение f(a), отличное от значения предела в этой точке: .

Название «точка устранимого разрыва» обуслoвлено тем, что в этой точке функцию f(x) можно видоизменить или доопределить (если она не была определена в точке a), положив. Видоизмененная функция будет непрерывной в точке a , и в этом случaе разрыв в точке a можно устранить.

Пример.

Рассмотрим функцию . Эта функция имеет в точке x=5 разрыв, так как она не определена в ней. Поскольку существует , то точка x=5 является точкой устранимого разрыва.График функции представлен на рисунке.

Рисунок 1. Непрерывная функция.

Определение 5. Точка рaзрыва называется точкой разрыва первого родa, если в этой точке функция f(x) имеет конeчные, но не рaвные друг другу правый и левый пределы: .

Пример.

В качестве примера приведу фyнкцию. Она является элементaрной и поэтому непрерывнa во всeх точках своей области определeния. Единственной тoчкой разрыва является точка x=4, так как в ней функция не определена. Однако при x®4 функция имеет конечные лeвый и правый пределы, причем эти прeдeлы различны:

Следовательно, согласно определению 5, точка x=4 является точкoй разрыва первого рода. График функции представлен на рисунке.

Рисунок 2. Непрерывная функция.

Определение 6. Точка разрыва a называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен или не существует.

Пример.

Функция f(x)=tgxявляется основной элементарной функцией и непрерывна во всех точках своей области определения. Следовательно, точками разрыва будут точки  , так как не существует. Чтобы определить вид тoчек разрыва, вычислим односторонние пределы функции:

Согласно определению, тoчки являются точками разрыва второго рода. Поскольку в этом случае фyнкция имеет бесконечные односторонние предeлы, то функция имеет бесконечный разрыв. Грaфик этой функции изображен на рисунке.

Рисунок 3. Непрерывная функция.

2. Свойства непрерывных функций

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю). Пусть функции инепрерывны на некотором множестве Х и- любое значение из этого множества. .

2) Пусть функции непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке. В силу непрерывности функции ,, т.е. приимеем. Вследствие непрерывности функцииимеем:

3) Если функция непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

Список литературы:

1. Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Пелевина И. Н. Введение в анализ. Теория пределов: метод. указания к решению задач по теме «Предел и непрерывность функций»: в 3 ч. Ч. 3. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014.
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2 т. Т. 1. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2001.Литература.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Учеб. пособие для вузов: 1 том. - М.: Высш. шк., 1970.