ПРИМНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГЕОМЕТРИИ

APPLICATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN GEOMETRY

Nikolai Gorbachev

student, Department of Physical and Mathematical Disciplines and Vocational and Technological Education, P. P. Yershov Ishim Pedagogical Institute (branch) Tyumen State University,

Russia, Ishim

Svetlana Maslekha

student, Department of Physical and Mathematical Disciplines and Vocational and Technological Education, P. P. Yershov Ishim Pedagogical Institute (branch) Tyumen State University,

Russia, Ishim

АННОТАЦИЯ

В геометрии существуют задачи, в решении которых уместно использование дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

In geometry, there are problems in the solution of which the use of differential equations is appropriate.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, решение задач по геометрии.

Keywords: differential equations, solving problems in geometry.

Дифференциальные уравнения можно применять при решении геометрических задач в рекомендуемой последовательности действий:

1. Изображение чертёж и ввод обозначений;
2. Выяснение условий нахождения искомой линии в случайной точке;
3. Выражение всех величин через производную точки;
4. Составление дифференциального уравнения по условиям данной задачи;
5. Поиск решения уравнения [1, с. 245].

Пример 1 [2, с. 15]. Найти уравнение кривых, у которых сумма длин нормали и поднормали постоянна равна .

Решение. Следуя из данного рисунка 1, найдём длины нормали (МВ) и поднормали (СВ).

Рисунок 1. Изображение к примеру 1

По рисунку 1 видно, что треугольник СМВ является прямоугольным, , , и значит, что , откуда . Полагая, что , а , обозначим длину нормали в виде:

.

Отрезок  является гипотенузой прямоугольного треугольника, значит, используя теорему Пифагора:

.

По условию, сумма длин нормали и поднормали равна :

,

решим полученное уравнение относительно y’:

,

далее разделяем переменные:

.

Проинтегрировав получим:

.

Далее приведём уравнение искомых кривых к виду:

.

Список литературы:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Высшая математика: учебное пособие для студентов педагогических институтов по биологическим и химическим специальностям - Москва: Просвещение, 1980 г. – 383с.
2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения – Москва: Просвещение, 1984 г. 176с.
3. Зайцев И. А. Высшая математика: учебник для неинжинерных специальностей сельскохозяйственных вузов - Москва: Высшая школа, 1991г. - 400с.
4. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - Москва: Дрофа,, 2001 г.- 384с.