УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены различные способы раскрытия модуля, а так же решены задачи, позволяющие школьникам лучше освоить основные методы работы с выражениями содержащими модуль.

Ключевые слова: действительные числа, выражения с модулем, раскрытие модуля, неравенства содержащие модуль, уравнения содержащие модуль

Напомним определение модуля вещественного числа x:

Раскрытие модулей по определению

Приведём эквивалентные переходы при раскрытии модулей по определению:

                                                        (1)

                                                          (2)

                                                          (3)

Заметим, что при подобном раскрытии модулей нам не приходится исследовать знак функции g(x) стоящей в правой части неравенств:

• из равносильной совокупности (2) автоматически следует, что все значения х из области определения f(x) и g(x), при которых g(x)< 0, являются решением исходного неравенства;
• из равносильной совокупности (3) при g(x)<0 автоматически следует отсутствие решений у исходного неравенства.

В случае нестрогих неравенств с модулем неравенства равносильных систем также становятся нестрогими. Кроме того, нет принципиальной разницы в приписывании случая f(x)=0 к любой из получаемых систем (или даже к обеим сразу).

Рассмотрим другой подход к раскрытию модулей, основанный на использовании геометрического смысла модуля.

Раскрытие модулей через геометрический смысл

Геометрическим смыслом модуля числа считается расстояние по числовой оси от начала отсчета до рассматриваемого числа, причем одному и тому же значению |x| соответствуют две симметричные относительно начала отсчета точки: -а и a.

Использование геометрического смысла модуля позволяет существенно сократить равносильные преобразования при раскрытии модулей.

Например:

                                                            (4)

                                                               (5)

                                                           (6)

Заметим, что при таком раскрытии модулей в неравенствах нам не приходится исследовать знак не только функции g(x) стоящей в правой части неравенств, но и функции f(x), стоящей под знаком модуля. Это сокращает работу при решении задач.

В случае нестрогих неравенств с модулем все неравенства равносильных систем также становятся нестрогими.

Дополнительные факты и сведения

В ряде случаев для упрощения решения бывает удобно использовать специальный вид уравнения или неравенства.

Например:

                                                              (7)

                                                             (8)

                                              (9)

                                             (10)

Приведем примеры раскрытия модулей по определение и через геометрический смысл.

Пример 1.

Решить уравнение:

Для решения данного уравнения рассмотрим два случая:

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство: 25.

Перенесем все в левую часть, ,

В левой части формула суммы квадратов, свернем ее:

Сделаем замену: , , решив методом интервалов получаем . Возвращаемся в замену:   

Ответ:  

Пример 3.

Решить уравнение:

Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Решим данную систему:⇔

 ⇔,что и является решением задачи.

Ответ:

Пример 4.

Решить неравенство:

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

 ⇔

Ответ:

Список литературы:

1. Садовничий Ю. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Задания с развернутым ответом/ Ю. В. Садовничий. -М: Издательство «Экзамен:2019-654 [2] с. (Серия «ЕГЭ.Банк заданий»).