ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Для описания физической реальности математикам стало не хватать основных видов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные и др.), поэтому для того, чтобы указать направления величин, было введено понятие вектора. Следовательно, вектор - направленный отрезок прямой [5]. Перемещение, скорость, ускорение и др. являются примерами физических векторных величин.

Термин «вектор» (от лат. vector- несущий) предложил Гамильтон в 1845 г. Так же Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «векторное произведение» и «скалярное произведение» [10].

После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».

Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. опубликовал обширный учебник по векторному анализу [8].

Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа [1].

Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные и тензорные поля [3]. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.

Итак, полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины [4]. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число , то задано скалярное поле. Значит скалярное поле – это скалярная функция  вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то задано векторное поле.

Примерами скалярных полей является поле плотности, давления, температур и т.д. А примерами векторных полей: магнитное поле, поле силы тяжести, скорости и т.д.

Рассмотрим трехмерное пространство, тогда функция поля

,

где  – координаты точки M.

Если поле изменяется со временем τ, то

.

Поле, не зависящее от времени, называется стационарным, в противном случае нестационарным.

В работе будем рассматривать только стационарные поля.

Если скалярная функция  зависит только от двух переменных , то скалярное поле  называется плоским.

Если же вектор  рассмотреть, как векторную функцию, зависящую от трех скалярных аргументов , тогда . Вектор  можно представить в виде

              (1)

где  – проекция вектора  на оси координат,  – орты (единичные вектора) декартовой системы координат.

Если в выбранной системе координат  одна из проекций вектора  равна 0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским.

Предположим, что функция поля (скалярное и векторное поля) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда как будет изменяться функции  при переходе из одной точки пространства в другую? Для ответа на этот вопрос рассмотрим геометрическое место точек

                                              (2)

 где . Такое геометрическое место точек называется поверхностью уровня. Если скалярное поле задаётся в плоской области двух переменных, то есть

                                                  (3)

вместо поверхностей рассматриваются линии уровня [7].

Рассмотрим основные элементы векторного анализа.

1. Оператор Гамильтона.

Вильям Роуэн Гамильтон, основатель векторного анализа, ввел в математику символический вектор  (atled), но Оливер Хевисайд стал называть его «набла», или оператор Гамильтона [4].

.                     (4)

Тогда

 .                             (5)

2. Градиент скалярного поля и его свойства.

Пусть задано скалярное поле , которое дифференцируемо в некоторой область V.

Градиентом функции в точке  называется вектор, выходящий из точки , имеющей своими координатами частные производные функции

.                             (6)

Исходя из формулы градиента, проекции градиента на оси координат и его длина (модуль) выражается формулами:

;             (7)

                         (8)

Рассмотрим свойство градиента. Пусть заданы производная поля по направлению и градиент поля:

,                   (9)

,                               (10)

.                     (11)

 Максимальное значение производной по направлению равно модулю градиента:

                          (12)

 Вектор  направлен в сторону возрастания поля.

 Вектор  всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).

Дифференциальные свойства градиента:

 Если скалярное поле есть сумма двух полей,

.

 градиент сложной функции.

3. Дивергенция векторного поля и его свойства.

Пусть задано векторное поле

.

Дивергенцией (расходимостью) векторного поля  называется скалярная функция, определяемая равенством:

                                 (13)

где  объем области внутри поверхности,

 диаметр области [12].

Отсюда следует, что формула

                  (14)

используется для вычисления в декартовых координатах. Используя оператор Гамильтона дивергенцию можно записать, как

                                       (15)

или в виде скалярного произведения

.                                   (16)

Как мы уже выяснили, дивергенция векторного поля является скалярной функцией и имеет некоторые свойства:

(свойство линейности)

где .

 Пусть  скалярное поле, тогда

.

4. Ротор векторного поля и его свойства.

Ротор векторного поля в декартовых координатах выражается формулой:

.       (17)

Через символический вектор Гамильтона вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора  на вектор поля :

.                     (18)

Если в некоторой точке поля , то поле в этой точке называется безвихревым.

Поле градиента безвихревое:

.                  (19)

Ротор является векторной функцией и обладает теми же свойствами, что и дивергенция:

(свойство линейности)

где .

 Пусть  скалярное поле, тогда

.

5. Оператор Лапласа.

Можно вывести оператор Лапласа. Мы знаем, что

,

а так как

,

то скалярный квадрат имеет вид:

.                             (20)

Теперь ведем символический оператор подобный оператору Гамильтона:

                          (21)

где  оператор Лапласа [6].

Векторный анализ – раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более измерениях [2]. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии, а также в электротехнике, математике и других технических дисциплинах. Основой теории поля являются рассмотренные нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных [3].

Список литературы:

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. М: Наука. 1971. 735 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.
3. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.
4. Киркинский А.С. Математический анализ: учебное пособие. – М.: Академический проект, 2006. – 526 с.
5. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
6. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.
7. Математика: учебное пособие. Часть 8: Теория поля/ О.А. Кеда, Л.П. Мохрачева, Е.М. Пампура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 112 с.
8. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.