ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

ELASTICITY AND ITS PROPERTIES

Svetlana Nikiforova

student, Department of Accounting, Analysis and Economic Security, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

Sergey Makarov

Scientific adviser, Doctor of Pedagogy, Professor, Department of Higher Mathematics and Economic and Mathematical Methods, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается тема эластичности и ее свойств. Как коэффициент эластичности показывает изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

ABSTRACT

This article discusses the topic of elasticity and its properties. As the coefficient of elasticity shows the relative change in the studied economic indicator under the influence of a single relative change in the economic factor on which it depends with the remaining factors influencing it unchanged.

Ключевые слова: эластичность, коэффициент эластичности, дифференциал, свойства эластичности, эластичностью функции, функция.

Keywords: elasticity, coefficient of elasticity, differential, properties of elasticity, elasticity of function, function.

Определение эластичности было придумано и введено Аланом Маршалом в результате с анализом функции спроса. Это понятие является математическим и применятся при анализе любых дифференцируемых функций. Коэффициентом эластичности функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю ∆x → 0. Эластичностью функции Е_х(у) - предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х. [2]

Коэффициент эластичности функции является коэффициентом пропорциональности между относительными изменениями величин y и x, он показывает приближенно на сколько изменится % функции y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Как же будет выглядеть коэффициент эластичности, а именно через производную функции?

Для того чтобы существовал коэффициент эластичности в данной точке необходимо, чтобы существовала производная в этой точке. Коэффициент эластичности совпадает с отношением логарифмических производных.

Далее затронем тему геометрического смысла эластичности.

Из этого следует, что эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С с координатами (x₀,y₀) до ее пересечения  с осями ординат и абсцисс, взятому со знаком минус. Таким образом, если аккуратно построить график функции y=f(x) и провести касательную к кривой в исследуемой точке С(x₀,y₀), можно приблизительно определить величину эластичности функции в это точке. [1]

Свойства эластичности функции.

Функция от величины своей эластичности может быть: 1) совершенно эластичная, 2) эластичная, 3) неэластичная, 4) совершенно неэластичная, 5) нейтральная.  

1. Эластичность - безразмерная величина, т.е она не зависит он выбора единиц измерения величины y и x. E_yx=E_byax
2. Коэффициенты эластичности взаимно обратных функций – это взаимно обратные величины. E_yx=1/ E_yx
3. Эластичность произведения функций равна сумме эластичностей этих функций. E_uvx= E_ux+ E_vx
4. Эластичность частного функций равна разности эластичностей этих функций. E_u/v*x= E_ux+ E_vx
5. Эластичность суммы функций равна сумме эластичностей этих функций с весовыми коэффициентами.   E_u+vx= U/U+V*E_ux+ V/U+V*E_vx

Чтобы полностью разобраться с данными свойствами эластичности рассмотрим пример.

Пример: Рассмотрим функцию спроса: зависимость количества покупаемого товара q от его цены p:q=q(p). [3]

Исследуем динамику выручки при различных видах спроса. Выручка от продажи товара по цене p, составляет

u=p*q(p) u’=p’q(p)+p*q’=q(p)+p*q’(p)=q(p)+p/q(p)*q’(p)*q(p)

u’=q(p)*(1+Ep(q))

Заметим, что поскольку функция спроса является убывающей, ее производная q’(p)<0. Поэтому и Ep(q)<0.

Из этого всего следует, что: 1) – если спрос эластичен, то с повышением цены выручка от продажи снижается (для повышения выручки, продавец выгодно для него понижает цену; |E|>1 u’<0  u 2) – при нейтральном спросе выручка практически не зависит от цены; |E|=1 u’=0 u-константа  3) – при нейтральном спросе повышение цены приводит к росту выручки (продавцам буде выгодно повышать цену) 0<|E|<1  E<0  u’>0 u

Таким образом, эластичность функций применяется, например, при анализе спроса и потребления, в процессе анализа проектных рисков в ходе исследования изменений критериев оценки проектной эффективности в зависимости от изменений факторов риска. Так, эластичность спроса Q по цене P показывает величину относительного изменения спроса на какой-либо товар при изменении цены этого товара. Она характеризует «чувствительность» потребителей к изменению цен на продукцию. [4]

Список литературы:

1. БГЭУ Лекция № 13-14 Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 128
2. Макаров. С.И. Математика для экономистов : учебное пособие / С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. – М.:КНОРУС, 2008. – 60с.
3. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур.- М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999.-421 с.
4. Экономическая теория: Учебник /Под ред. В.Д. Камаева. - М.: Владос, 2011.