TO’PLAMOSTILARGA DOIR TENGLIKLARNI ISBOTLASH

ANNOTATSIYA

Maqolada to’plamlar va mulohazalar algebrasi orasidagi bog’liqliklar haqida gap boradi. Unda to’plamostilarga tegishli tasdiqlarni elementning to’plamga tegishli bo’lishi va bo’lmasligi nuqtai nazaridan isbotlash usuli ko’rsatib berilgan.

Kalit so’zlar: to’plam, element, to’plamlar birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, ayirmasi.

To’plam ustidagi amallarni diagrammalar yordamida ko’rgazmali tarzda tasvirlash mumkin. Unda to’plamlar doiralar shaklida tasvirlanib, kerakli elementlar joylashgan sohalar shtrixlar orqali ajratib ko’rsatiladi. Bunday diagrammalar Venn (yoki Eyler- Venn) diagrammalari deb ataladi [1, 22] (1-rasm).

1-rasm. Eyler- Venn) diagrammalari

To’plamlar ustidagi amallarni tasvirlashning boshqa usuli ham bor. Bu usulda ma’lum bir elementlarning bu to’plamga kirish yoki kirmasligiga qarab tuziladigan jadval tuzilib, unda tanlangan elementlarning  va  to’plamga va ular ustida bajariladigan amallar natijasi bo’lgan to’plamga tegishli bo’lish yoki bo’lmasligining barcha holatlari qaraladi. Bu elementlarining  va  to’plamga tegishli yoki tegishli emasligini qo’yidagi tartib bo’yicha belgilaymiz: 1 soni berilgan element berilgan to’plamga kirishini; 0 soni esa bu elementning berilgan to’plamga tegishli emasligini bildiradi. Tuziladigan jadvalda 4 ta satr xosil bo’ladi.

ustunlar bu amallarning ta’riflariga ko’ra to’ldiriladi. (1- jadval)

1-jadval

 to’plamlar elementlari (tegishli-1, tegishli emas-0) ning tegishlilik jadvali

Masalan, 1-jadvaldagi ikkinchi satr quyidagicha o’qiladi: Agar elementlar  ga tegishli bo’lib,  ga tegishli bo’lmasa, u xolda bu element  ga tegishli,  ga tegishli emas,  ga tegishli,  ga tegishli emas.

To’plamlar birlashmasi kesishmasi va ayirmasining ba’zi muhim xossalarini qaraylik. , to’plam I to’plamning to’plamostilari bo’lsin.

1) )

(bu ayniyatlar to’plamlar birlashmasi kesishmasining kommutativligini  bildiradi)

2)

 )

(bu ayniyatlar to’plamlar birlashmasi va kesishmasining assotsiativligini bildiradi)

3)

(bu ayniyatlar idempotentlik qonunlarini bildiradi)

4) 

 )

(bu ayniyatlar distributivlik qoidasi deyiladi)

5)=∩)=

(bu ayniyatlar de Morgan qoidalari deyiladi)

6) )

7) )

5-xossani to’plamga elementning tegishlilik jadvali bo’yicha isbotlaymiz (2-jadval)

2-jadval

5-xossadagi to’plamlar elementlarining tegishlilik jadvali

Bu jadvaldan berilgan elementlarning to’plamga tegishli yoki tegishli emasligiga qarasak, ∩ ayniyatning ikkala qismiga bu element bir vaqtda (mos hollarda) tegishli yoki tegishli emasligini ko’ramiz. Demak ∩ o’rinli.

 1-7. - xossalarni qanoatlantiruvchi uchta amal bilan berilgan to’plamlar sistemasini birinchi marta Djordj Bul (1815-1864) tomonidan o’rganilgan, shuning uchun to’plamlarning bunday sistemasi Bul algebralari deb nom olgan [4, 27].

Masala. C tenglikdan  tenglik kelib chiqadimi va, aksincha,  tenglikdandan  tenglik kelib chiqadimi?

Yechish. Masalaning birinchi savolini qaraymiz.  tenglikning ko’rinishini o’zgartirib, ya’ni  tenglikni hisobga olib,  tenglikni tekshiramiz. (3-jadval)

3-jadval

 va  to’plamlarga elementning tegishlilik jadvali

3-jadvaldan ko’rinadiki  to’plam va  to’plamlarning mos ustunlari bir xil emas, demak  dan  chiqmadi, lekin  ekanligini ko’rish mumkin.

 Endi masalaning ikkinchi savolini qaraylik,  dan  ( yoki  tenglik kelib chiqadimi?

 Uchinchi va to’rtinchi ustunlar bir xil emas, shuning uchun bu tengliklar o’rinli emas. (4-jadval). Alida esa

4-jadval

 va  to’plamlarning teng emasligigni ifodalovchi jadval

Ko’rsatilgan usul yordamida quyidagi masalalarni ham hal qilish mumkin:

To’plamostilarga tegishli quyidagi asosiy tengliklarni isbotlang [5, 19]:

1. 
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. 
7. 
8. ;
9. ;
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 

Ularni Eyler – Venn diagrammalarida tasvirlang.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, 1997, P. 636.
2. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “Algebra and number theory” 2010, P. 523.
3. Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov, Algebra va sonlar nazariyasi, Toshkent “Tafakkur bo’stoni” 2019, 295 b. (o`quv qo`llanma)
4. Nazarov R.N.,Toshpo’latov B.T., Dusumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi.T., O’qituvchi. I – qism, 1993 y., II - qism, 1995 y. (o`quv qo`llanma)
5. Куликов Л.Я. и др., Сборник по алгебре и теории чисел. Учебное пособие для ст.физ-мат.пед.инст. – М.: Просвещение, 1993 г., 288 стр.