Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Студенческий» № 16(144)

Рубрика журнала: Математика

Скачать книгу(-и): скачать журнал часть 1, скачать журнал часть 2, скачать журнал часть 3, скачать журнал часть 4, скачать журнал часть 5, скачать журнал часть 6

Библиографическое описание:
Васина О.Ю. О ВЛИЯНИИ СВОЙСТВ КЛАССА ГРУПП F НА СВОЙСТВА F^ω- ДОСТИЖИМОГО ПОДГРУППОВОГО ФУНКТОРА // Студенческий: электрон. научн. журн. 2021. № 16(144). URL: https://sibac.info/journal/student/144/209565 (дата обращения: 02.03.2024).

О ВЛИЯНИИ СВОЙСТВ КЛАССА ГРУПП F НА СВОЙСТВА F^ω- ДОСТИЖИМОГО ПОДГРУППОВОГО ФУНКТОРА

Васина Ольга Юрьевна

магистрант, кафедра математического анализа, алгебры и геометрии, Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского,

РФ, г. Брянск

Сорокина Марина Михайловна

научный руководитель,

д-р физ.-мат. наук, доц., кафедра математического анализа, алгебры и геометрии, Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского,

РФ, гБрянск

 

ON THE INFLUENCE OF THE PROPERTIES OF THE CLASS OF GROUPS  ON THE PROPERTIESOF - ACHIEVABLE SUBGROUP FUNCTOR

 

Vasina Olga

Master's student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky,

Russia, Bryansk

Sorokina Marina

scientific advisor, doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate professor, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky,

Russia, Bryansk

 

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются только конечные группы. Классом групп называется совокупность групп, содержащая вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные. Подгрупповым функтором называется отображение , сопоставляющее каждой группе  некоторую непустую совокупность  её подгрупп, удовлетворяющее условию  для любого изоморфизма j группы . В статье изучается влияние свойств классов групп на подгрупповые функторы. Установлено влияние свойства Q-1- замкнутости класса групп  на подгрупповой функтор, сопоставляющий каждой группе  совокупность всех её - достижимых подгрупп.

ABSTRACT

Only finite groups are considered. A class of groups is called a set of groups containing, together with each of its group, all groups isomorphic to it. A subgroup functor is a function  that assigns to each group  some nonempty set  of its subgroups, satisfying the condition  for any isomorphism j of the group . We consider the influence of properties of classes of groups on subgroup functors. We established an influence of the property of Q-1 - closedness of the class of groups  on the subgroup functor, assigning to each group  the set of all its - achievable subgroups.

 

Ключевые слова: конечная группа; класс групп; Q-1 - замкнутый класс групп; подгрупповой функтор; - достижимая подгруппа.

Keywords: finite group; class of groups; Q-1 - closed class of groups; subgroup functor; -achievable subgroup.

 

1. Введение

Теория групп занимает одно из важнейших мест в современной алгебре (см., например, [3]). В рамках данной теории в настоящее время интенсивно развивается ряд направлений, среди которых большую роль играет теория классов групп. Многие важные результаты о классах групп получены Л.А. Шеметковым, А.Н. Скибой, В.С. Монаховым, В.А. Ведерниковым, К. Дерком, Т.Хоуксом, В. Го и др. (см. например, [2, 4, 6, 8]). С развитием теории классов групп были введены в рассмотрение многие новые виды подгрупп в конечных группах, такие как  - нормальные,  - субнормальные,  - достижимые и другие подгруппы (см. например, [5, 7, 8]). Понятие - достижимой подгруппы, где ω – некоторое множество простых чисел, является естественным обобщением понятия  - достижимой подгруппы.

Как отмечено в монографии [1], теория классов групп тесно связана с теорией подгрупповых функторов. Целью настоящей работы является установление влияния свойств класса групп  на свойства - достижимого подгруппового функтора. Установлено влияние свойства Q-1 - замкнутости класса групп  на подгрупповой функтор, сопоставляющий каждой группе  совокупность всех её - достижимых подгрупп. В работе используются классические методы доказательств теории групп, а также методы теории классов групп и теории подгрупповых функторов.

2. Используемые определения и обозначения

В статье рассматриваются только конечные группы. Обозначения и определения для групп, классов групп и подгрупповых функторов стандартны (см., например, [1, 2, 6]). Приведем лишь некоторые из них. Запись  (, ) означает, что  – подгруппа (соответственно собственная, нормальная подгруппа) группы ; ω – непустое подмножество множества ℙ всех простых чисел;  – наибольшая нормальная ω-подгруппа группы ;  – ядро подгруппы  в группе , т.е. наибольшая нормальная подгруппа группы , содержащаяся в

Совокупность групп  называется классом групп, если из  и  всегда следует, что  [2, с. 161]. Через  и  обозначаются классы всех конечных групп и всех конечных ω - групп соответственно. Класс групп  называется Q-замкнутым, если из  и  всегда следует, что  

[2, с. 161]. Класс групп  называется Q-1-замкнутым, если из  для некоторой  всегда следует, что .

Отображение , ставящее в соответствие каждой группе  некоторую непустую совокупность  её подгрупп, называется подгрупповым функтором, если   для любого изоморфизма  каждой группы  [1, с. 9].

Подгруппу  группы  назовём -достижимой подгруппой группы , если существует такая цепь подгрупп группы  вида , что для любого  выполняется одно из условий: либо , либо .

3. Основные результаты

Теорема 1. Пусть  – непустое множество простых чисел,  – непустой  Q-1-замкнутый класс групп,  – подгрупповой функтор, ставящий в соответствие каждой группе совокупность всех её - достижимых подгрупп,  – конечная группа, . Если , то .

Доказательство. Пусть  – конечная группа, , . Покажем, что .

Так как ,то  – -достижимая подгруппа группы  Это означает, что существует цепь подгрупп группы  вида:

                                        (1)

такая, что для любого  выполняется хотя бы одно из условий:

1/);

2/).

Покажем, что  – -достижимая подгруппа группы . Из (1) по теореме 1.59 [1, с. 46] следует, что существует цепь подгрупп группы  вида:

                                                     (2).

Установим, что в цепи (2) для любого  выполняется хотя бы одно из условий:

1//);

2//).

Пусть . Возможны 2 случая.

Случай 1. Пусть выполняется условие 1/), т.е.. Тогда по теореме 1.59 [1, с. 46] имеем , т.е. выполняется условие 1//).

Cлучай 2. Пусть выполняется условие 2/), т.е.

                                (3).

Покажем, что в этом случае справедливо условие 2//), т.е. установим, что

.

Введем следующие обозначения:

пусть ,  

Покажем, что . Действительно, так как , то по теореме 1.59 [1, с. 46]  (4). Из  по теореме 1.59 [1, с. 46] имеем  (5). Далее, так как , то (6). Поскольку  – наибольшая нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то из (5) и (6) следует, что  (7).

Из (4) и (7) заключаем, что  (8).

Далее, ввиду , имеем  (9). Покажем, что . Действительно, так как , то по теореме 1.59 [1, с. 46] (10). Поскольку  и Q-замкнутый класс групп, то (11). Так как  – наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу , то из (10) и (11) следует, что  (12).

Из (9) и (12) получаем, что (13).

Таким образом, из (8) и (13) заключаем, что  и по теореме 2.5 [2, с. 59] . Так как, ввиду (3),  и  – класс групп, то, в силу определения класса групп,  (14). Поскольку  – Q-1-замкнутыйкласс групп, то из (14) следует, что

Рассмотрим фактор-группу : используя теорему о гомоморфизмах, получаем . Так как  и – класс групп, то , в силу определения класса групп. Таким образом,

, т.е. в данном случае выполняется условие 2//).

Тем самым установлено, что подгруппа  группы  удовлетворяет определению -достижимой подгруппы. Таким образом, Теорема доказана.

При ω=ℙ из теоремы 1 непосредственно получаем следующий результат.

Следствие 1. Пусть  – непустой Q-1-замкнутый класс групп,  – подгрупповой функтор, ставящий в соответствие каждой группе совокупность всех её  -достижимых подгрупп,  – конечная группа, . Если , то .

 

Список литературы:

  1. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. — 254 с.
  2. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. — 207 с.
  3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 2009. — 288 с.
  4. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. — 272 с.
  5. Carter R., Нawkes T. The  - normalizers of a finite soluble group, J. Algebra, 1967. — p. 175-201.
  6. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. Berlin – New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
  7. Fan Y. -stability and -criticality, Acta Mathematica Sinica, 1986. — p. 117-126.
  8. Guo W. The Theory of Classes of Groups. Beijing – New York: Science Press, 2000. — 258 p.

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.