РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КООРДИНАТ

В стереометрии используются два основных метода решения задач. Первый метод основан на теоремах, аксиомах и свойствах фигур, который требует логической последовательности практических рассуждений и умения строить чертежи. Второй метод – это метод координат или координатно-векторный метод. Стоит отметить, что изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задание 14). А так как эти задания повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.

Для решения геометрических задач с помощью метода координат необходимо знание простых формул, правил и алгоритмов. Преимущество этого метода состоит в том, что он упрощает решение задач и сокращает затрачиваемое время. Он не требует сложных построений в проекциях, так как сначала вводится декартова система координат, затем производятся вычисления. Метод координат является значимым методом и с помощью него можно решать задачи разных уровней сложности. Но и у этого метода есть недостаток – большой объем вычислений.

Алгоритм применения метода координат состоит из следующих шагов:

1. Выбор системы координат в пространстве;

2. Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения кривых и фигур;

3. Решение примера, используя ключевые задачи или формулы данного метода;

4. Переход от аналитических соотношений к метрическим.

Стоит отметить, что алгоритм является общим, и для некоторых видов задач приходится использовать дополнительные шаги для решения задач [8].

Метод координат — способ определения положения точки или тела с помощью чисел или других символов. Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами. В зависимости от целей и характера исследования выбирают различные системы координат.

Система координат — это способ определения положения точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел или символов, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат) [1].

Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке.

Существует 6 основных видов задач, решаемых методом координат:

1. Нахождение расстояния между двумя точками  и  по формуле: ;

2. Нахождение координат середины  отрезка , где  и :

3. Нахождение угла между двумя векторами  и :

4. Нахождение угла между прямой  и плоскостью :  где  – вектор нормали к данной плоскости,  – направляющий вектор прямой;

5. Нахождение угла между плоскостями, имеющих вид

или ;

6. Нахождение расстояния от произвольной точки  до данной плоскости   [1,2].

Для наглядного представления использования данного метода решим один из примеров задания №14 Единого государственного экзамена по математике, которая представляет собой стереометрическую задачу.

Задание №14. В прямоугольном параллелепипеде  проведена секущая плоскость, содержащая диагональ  и пересекающая и , в точках  и  соответсвенно. Известно, что -ромб и .

а) Найти площадь сечения .

б) Найти расстояние от точки  до плоскости сечения.

Решение.

а)

Рисунок 1. Чертеж задачи

Рассмотрим треугольники :

, тогда .

Обозначим 

, тогда мы можем применить теорему Пифагора для :

Объединим данные уравнения в систему и найдем  :

По условию сечение – это ромб. Формула нахождения площади ромба - .

Для того, чтобы найти длины диагоналей ромба  и , нам необходимо ввести декартову систему координат.

Рисунок 2. Чертеж задачи в декартовой системе координат

Зададим координаты точек . Далее можем найти координаты вектора : зная координаты его начальной точки  и конечной точки , необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

.

Следующим шагом нам необходимо задать вектор . Для этого нам понадобится координаты точек . Отсюда следует, что .

Соответственно нам необходимо найти длину вектора .

.                  

б) Для того чтобы найти расстояние от точки  до плоскости сечения зададим плоскость . Также понадобится уравнение плоскости: . Чтобы задать уравнение плоскости необходимо три точки: .

Далее подставляем вместо  поочередно координаты вышеперечисленных точек:

Следующим шагом данные выражения подставляем в уравнение плоскости

Обе части делим на :

Также нам понадобится координаты точки .

Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости необходимо воспользоваться формулой:

В данную формулу подставляем найденные значения:

Ответ: а) б)

В ходе решения мы убедились, что метод координат является наиболее удобным для решения. Координатный метод объединяет в себе геометрию и алгебру и позволяет вместо использования множественных геометрических преобразований и решений вести наиболее разумное решение задачи. Также даёт возможность различных представлений и решений задач за счет выбора произвольного расположения системы координат. Данный метод служит отличным способом проверки ответа при решении классическим способом.

Список литературы:

1. А.А Гусак Справочник по высшей математике / А.А Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. – 9-е изд. – Минск: ТеатрСистема, 2009. - 640с.
2. Метод координат // Sigma/Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в Видном URL: https://sigma-center.ru/method_koordinat (дата обращения: 09.02.2021).
3. Геометрия / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., - 22-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 255 с.
4. Тренировочный вариант №275 // АLEXLARIN.NET URL: https://alexlarin.net/ (дата обращения: 09.02.21).