ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ

​APPLICATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR SOLVING PROBLEMS IN MECHANICS

Anastasia Antoshkina

student, Ishim pedagogical Institute Of p. p. Yershov (branch), Tyumen state University,

Russia, Ishim

АННОТАЦИЯ

Очень часто студенты, изучающие высшую математику, не знают, как применить полученные знания на практике. В данной статье рассмотрим практическое применение дифференциальных уравнений в решении задач по механике. В предложенных задачах дифференциальные уравнения будут выступать в роли модели какого-либо физического явления или процесса, существующего в реальности. Это позволит расширить базу знаний студентов в области высшей математики и механики.

ABSTRACT

Very often, students studying higher mathematics do not know how to apply their knowledge in practice. In this article, we will consider the practical application of differential equations in solving problems in mechanics. In the proposed problems, differential equations will act as a model of a physical phenomenon or process that exists in reality. This will expand the knowledge base of students in the field of higher mathematics and mechanics.

Ключевые слова: математика, механика, дифференциальные уравнения, применение.

Keywords: mathematics, mechanics, differential equations, application.

Зачастую случается так, что проведение реального эксперимента становится недоступным. Здесь на помощь приходит высшая математика. Благодаря её большому спектру возможностей становится доступным исследование любого процесса или явления методами математического анализа, линейного программирования, интегрального или векторного исчисления, которые в свою очередь составляют одну из немаловажных областей для науки под названием «математическое моделирование». Её роль состоит в том, чтобы с помощью, неравенств, уравнений, соотношений между параметрами можно было представить любой изучаемый объект или явлений. Значимое место в математическом моделировании отводится дифференциальным уравнениям. Их появление стало ключевым фактором в развитии дисциплин естественнонаучного цикла [1, c.61].

Дифференциальные уравнения позволяют решать задачи, в которых речь идёт о соотношении неизвестных переменных и производной некоторой функции. Достаточно много таких задач встречается при изучении физики. В данной статье рассмотрим применение дифференциальных уравнений в решении задач по механике.

Механика – раздел физики, изучающий движение тел и взаимодействие между ними. Отметим, что на её развитие существенно повлияло появление математического анализа в работах известных учёных И. Ньютона и Г.В. Лейбница. В механике дифференциальные уравнения приобрели огромную значимость, ведь благодаря им стало доступно решение многих, вопросов, которые несколько веков казались непостижимыми для математических умов.

Рассмотрим на конкретных примерах ценность дифференциальных уравнений для механики.

Пример 1 [2, c.34].

Масса космического корабля, движущегося прямолинейно, 50 т. Если его обеспечить полным запасом топлива, то его масса будет составлять 400 т. Начальная скорость движения равна 0 км/с, а скорость отдачи от струи газа 2 км/с. Определите, с какой скорость будет двигаться космический корабль после полного сгорания топлива. Сопротивлением воздуха и силой тяжести пренебречь.

Решение:

Пусть m (t) – масса космического корабля, υ (t) – масса космического корабля. Согласно уравнению Мещерского, получаем:

,                                                                     (1)

.                                                                 (2)

Умножим обе части уравнения на dt, получим:

.                                                                   (3)

Решим уравнение (3). Для начала разделив обе его части на m≠0:

,                                                                       (4)

,                                                                   (5)

,                                                                  (6)

получили общий интеграл данного дифференциального уравнения, где С=const. Так как по условию задачи υ (400)=0, сможем найти С:

.                                                                       (7)

Из равенства (7) следует, что

.                                                                       (8)

Найдём скорость, с которой будет двигаться космический корабль после сгорания топлива:

.                                                             (9)

Ответ: .

Пример 2 [2, c. 35].

Выведите закон, по которому движется свободнопадающее тело, если известно, что момент отсчёта времени начинается с t=0 с, а начальная скорость тела равна 0 м/с.

Решение:

За основу решения будем использовать формулу:

,                                                                          (10)

где υ-скорость, с которой падает тело, g-ускорение свободного падения, t – время падения. Так как скорость переменного движения есть производная пути по времени, то формула примет вид:

.                                                                        (11)

Умножим равенство (11) на dt:

.                                                                    (12)

Проинтегрируем равенство (12):

,                                                               (13)

,                                                               (14)

где С=const. Так как s=0, t=0, получим:

.                                                                 (15)

Ответ: .

Пример 3 [2, c. 36].

Воздух прогрелся до температуры 20 ⁰С. Выведите закон, по которому будет изменятся температура тела с течением времени, если известно, что оно охлаждается за 1/3 часа от 100 ⁰С до 60 ⁰С.

Решение:

Путь θ – температура тела, t – время охлаждения. Составим дифференциальное уравнение:

.                                                            (16)

Пусть θ-20=х, тогда

.                                                                   (17)

Умножим обе части равенства (17) на dt:

.                                                                    (18)

Разделим обе части выражения (18) на x≠0:

.                                                                     (19)

Проинтегрируем полученное равенство:

,                                                                 (20)

,                                                            (21)

получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения:

.                                                                    (22)

Используем начальные условия задачи, когда x=80 при t=0:

,                                                                (23)

.                                                                    (24)

С учётом замены:

.                                                         (25)

Найдём коэффициент пропорциональности:

,                                                       (26)

,                                                                (27)

.                                                          (28)

Следовательно, равенство (28) есть закон, по которому будет изменятся температура тела с течением времени.

Ответ:

Таким образом, можно утверждать, что все рассмотренные примеры подтверждают ценность дифференциальных уравнений для развития механики, они дают возможность изучать различные объекты. Благодаря их появлению стало доступно прогнозирование результатов развития процессов и явлений, количественная оценка всех изменений.

Список литературы:

1. Богомолов А.А., Жуков Д.А. Применение дифференциальных уравнений в решении задач по физике// Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.- с.60-63.
2. Гриншпон Я.С. Геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям: учебное пособие [Текст] / Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр.и радиоэлектроники, 2011. – с.74.