ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ

Данная статья посвящена анализу и систематизации теоретического материала на тему «Задачи на разрезание». Рассмотрены разные виды задач и их основные способы решения, доказывающие важность рассмотренных задач в изучении их в школьном курсе математики Также дается ответ на вопрос, применяются ли основы знания геометрии для решения задач на разрезание.

Интерес к изучению математики нередко наступает с рассуждения над понравившейся задачей. В данной статье проведено изучение задач на разрезание. Первые упоминания о них мы находим у древних китайцев. Так, в древнем Китае возникла «Танграм»- головоломка, которая представляет собой квадрат, разрезанный на семь частей определенным образом, история гласит, что она была создана для забавы сына императора, так играя, мальчик постигал начала математики. В данной головоломке был заложен метод комбинаторной геометрии. Но первые труды, в которых исследовались способы решения задач на разрезания, были написаны персидским астрономом и математиком Абул Вефа еще в 10 веке, он разработал методы и приемы решения данного рода задач. А уже в 20 веке в связи с бурным ростом периодических изданий ученые вновь вернулись к изучению задач на разрезание фигур на определенное количество частей и дальнейшее составление из данных частей новой фигуры. Одним из них был Генри Эрнест Дьдени, который предложил разбить равносторнний треугольник на четыре части и сложить из них квадрат в 1905 году в газете «Дэйл мэйл». [3]

А в 1836 году была разработана теорема Бояйи-Гервина, которая гласит, что любые две равновеликих многоугольника равносоставлены, именно это теорема позволила упростить ход решений различных задач. [2, c.8]

Задачи на разрезание вызывают постоянный интерес для их изучения и по сей день. Однако вопрос о системе задач на разрезания и методах решения этих задач остается не до конца исследованным вопрос. В чем заключается особенность таких задач и могут ли неравные фигуры быть равными, именно такие вопросы всплывают в голове при изучении задач на разрезание. [5, c. 2]

В чем же связь задач на разрезание с математикой? В основе задач лежат геометрические фигуры, так при разрезании фигуры из полученных частей получаем новую фигуру, при этом используя свойства площадей многоугольников.

В школьном курсе математики вводятся формулы площадей различных фигур, но не доказываются путем разрезания и перекраивания фигур, так параллелограмм путем разрезания сводится к прямоугольнику, а треугольник к параллелограмму. Рассмотрим решения данных задач ниже. [1, c. 384]

Задача 1. Нарисуйте параллелограмм. Покажите, на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник.

Дано:

ABCD-параллелограмм

Доказать:S=BH*AD

Доказательство:

Шаг 1: ABCD - параллелограмм. Опустим на сторону AD два перпендикуляра BH и CK, получим два равных прямоугольных треугольника (по гипотенузе (AB=CD, как противоположные стороны параллелограмма ABCD) и катету (BH = CK, как расстояние между параллельными прямыми)), значит площади треугольников равны. S(BCKH)=S(BHCD)+S(DKC), S(ABCD) =S(BHCD)+S(ABH).

Шаг 2: Получили, что BCKH- прямоугольник, таким образом, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, а если два многоугольника равносоставлены, то они равновелики, Sпр=BH*BC, а BC=AD так как ABCD – параллелограмм, значит Sпр=Sпар= BH*AD. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Разрежьте равнобедренный треугольник на такие части, чтобы из них можно было сложить параллелограмм.

Дано:

ABC- равнобедренный треугольник

Построить параллелограмм и доказать, что Sпар=AH*BH

Построение:

Шаг 1: Из вершины B опустим высоту BH, так как треугольник ABC- равнобедренный, то BH-медиана, высота и биссектриса, значит AH=HC.

Шаг 2: Разрежем исходный треугольник на два равных маленьких треугольника по высоте BH, соединим следующим образом и получим:

ABCH- параллелограмм, так как противоположные стороны попарно равны (AB=CH- боковые стороны равнобедренного треугольника, AH=BC- так как BH- медиана) и параллельны (AHǁBC, так как накрест лежащие углы равны(∠AHB=∠HBC=90°), ABǁCH(∠AHB=∠HBC=90))

Доказательство:

Sпар=SΔABH + SΔCBH= ½(AH*BH)+ ½(BC*BH)= ½ BH*(AH+BC)=½ BH*2*AH=BH*AH.

Что и требовалось доказать.

Многие утверждают в своих работах, что при решении задач на разрезание не нужны знания геометрии. Но даже при решении задач на клеточной бумаге основы геометрии необходимы, так как работаем с геометрическими фигурами, поэтому следует знать их признаки и свойства, а для более быстрого решения задач здесь важна смекалка, геометрическое воображение и мышление. Ниже решенные геометрические задачи будут связана с хорошо известной фигурой – квадратом. Почему именно квадрат? Ответ прост, так как главной заслугой квадрата является использование его, как единицы площади удобной при вычислениях. Рассмотрим решение нескольких подобных задач ниже.

Задача 3: Разрежьте фигуру на четыре равные по форме части.

Решение: Рассмотрим построенную фигуру, её площадь равна 12, поэтому 12:4=3- квадрата в каждой разрезанной части. Методом подбора составим данную фигуру.

Задача 4: Разрежьте квадрат со стороной четыре клетки на две равные части. (разрезать можно только по сторонам клеток). [4, c. 8-9]

В данной задаче были найдены 6 способов решения, представленные ниже:

Площадь данного квадрата 4*4=16, разрезаем его на 2 части, из этого следует, что площадь разрезанной частей будет равна 16:2=8. Следует заметить, что квадрат – это симметричная фигура относительно центра, центр квадрата – это точка пересечения его диагоналей. Поэтому ломанная, делящая, квадрат на две части симметрична относительно его центра.

В результате решения задач на разрезания, можно заметить, что они переходят из разряда творческих задач, которые способны решить дети в начальной школе, разрезая фигуры на несколько равных частей. В разряд технических, то есть требующих для своего решения применения геометрических знаний. Следует заметить, что задачи на разрезания имеют разных уровень сложности от самых элементарных, которые решаются на клетчатой бумаге, до олимпиадных для решения которых важны не только знания в области геометрии, но и сообразительность, смекалка, математическая логика и геометрическое мышление. Именно задачи на разрезания могут окунуть нас в занимательный мир геометрии.

Список литературы:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия, 7–9 : учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008.
2. Болтянский, В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры / В.Г. Болтянский. – М.: 1956.
3. Дик В. Знаменитая китайская головоломка. //Квант, №5, 1989. Обложка.
4. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002.
5. Иманова К.Н. Задачи на разрезание. Студенческий научный форум.