О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ABOUT METHODS FOR SOLVING PLANIMETRIC TASKS

Tatyana Videneeva

the student of 4 course, faculty Mathematics and information technology, Sterlitamak branch of Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

Guzel Voistinova

candidate of pedagogical Sciences, Associate professor, Sterlitamak branch of Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены некоторые методы решения планиметрических задач.

ABSTRACT

Consideration of methods for solving planimetric tasks.

Ключевые слова: методы, планиметрические задачи.

Keywords: methods, planimetric tasks.

Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить некоторые специфические особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, как отмечает Г.Х. Воистинова [3], очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов.

По мнению специалистов в области геометрии [1, 2], можно выделить три логически законченных и содержательно взаимосвязанных метода, изучение которых может обеспечить системность и практическую направленность знаний и умений.

1. Геометрический метод;

2. Метод опорных задач;

3. Векторный метод.

1. Геометрический метод. Уже на первом этапе – построение чертежа – можно говорить о наличии некоторых специальных приемов. При решении задач, в которых фигурирует одна или несколько окружностей, очень часто сами эти окружности не следует изображать, ограничиваясь указанием их центров, точек касания или пересечения с прямыми и друг с другом и проведением соответствующих отрезков прямых. Такого рода чертежи без окружностей к задачам про окружности обычно называют «скелетными».

Задача 1. Через точку O проведены три прямые, попарные углы между которыми равны 60۫. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки A на эти прямые, служат вершинами правильного треугольника.

Рисунок 1. Пример решения геометрическим метод

Решение. Пусть K, L, M – основания перпендикуляров (Рис. 1). Заметим, что точки O, A, K, L, M лежат на одной окружности с диаметром OA. Значит ∠KLM=∠KOM=60^o, ∠KML=∠KOL=60^o, т.е. треугольник KLM − равносторонний.

2. Метод опорных задач. По мнению методистов [2, 4], при использовании данного метода необходимо выделить некоторое множество задач (будем называть их опорными), в которых формулируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач.

Задача 2. Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM1 и AM2. Доказать, что если HM1<HM2, то AM1 <AM2.

Дано: AH ⊥ a, HM1<HM2.

Доказать: AM1 <AM2.

Рисунок 2. Пример решения методом опорных задач

Доказательство: 1. Отложим HM1′= HM1, проведем AM1′.

2. HM1 =HM1′ и AH ⊥ a, значит AM1 =AM1′ и ∠ 1= ∠ 3.

3. ∠ 3 – внешний в ∆ AM1′M2, поэтому ∠3 > ∠2, а значит и ∠ 1 > ∠ 2.

4. В ΔAM1M2: ∠1 > ∠2, поэтому AM2>AM1  или AM1 <AM2 , что и требовалось доказать (Рис. 2).

3. Векторный метод. Это один из наиболее общих методов решения геометрических задач. «Векторы» является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение векторным методом вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.

По мнению методистов [4], для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Задача 3. В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник ABC. Пусть M – произвольная точка окружности. Чему равна сумма MA2 + MB2 + MC2.

Решение.

Рисунок 3. Пример векторного метода решения геометрических задач

Прежде всего заметим, что если O – центр окружности,

то OA ⃗ +OB ⃗+OC ⃗ =0.

AM²+BM²+CM² = (MO ⃗+OA ⃗)² + (MO ⃗+OB ⃗)²+ MO ⃗+(OC ⃗)² =3MO²+OA²+OB²+OC²+2MO ⃗ (OA ⃗+OB ⃗+OC ⃗) = 6R².

Данная задача допускает всевозможные обобщения, например, обобщение до правильных многоугольников. При этом для точки M может быть указано лишь расстояние от центра окружности.

Список литературы:

1. Березина Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя / Л.Ю. Березина [и др.]. – М: Просвещение, 2010. – 78 с.
2. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника «Пайдейя», 2008. – 178 с.
3. Воистинова Г.Х. Задачи на построение как средство совершенствования приемов мышления студентов: Монография. – Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. – 176 с.
4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Учеб. пособие: 3-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2004. – 336 с.