СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

SYSTEMS OF NONLINEAR EQUATIONS

Susanna Mehdieva

student, Department of higher mathematics and computer science, Surgut state pedagogical University,

Russia, Surgut

Sabilya A. Kurmanova

teacher, Department of higher mathematics and computer science, Surgut state pedagogical University,

Russia, Surgut

АННОТАЦИЯ

Данная статья посвящена решению некоторых видов систем нелинейных уравнений. Приведены теоретические аспекты и примеры решения систем нелинейных уравнений.

ABSTRACT

This article is devoted to solving some types of systems of nonlinear equations. Theoretical aspects and examples of solving systems of nonlinear equations are given.

Ключевые слова: уравнение, решение уравнения, система нелинейных уравнений, решение системы уравнений.

Keyword: equation, solution of an equation, system of nonlinear equations, solution of a system of equations.

Изучению уравнений, а также их систем в школьном курсе математики уделяется значительное внимание, так как уравнения имеют не только важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям в разных областях науки. Трудоемкость решения уравнений и их систем обусловлена наличием большого количества математических формул, правил, способов и приемов решения уравнений, а также умением проводить тождественные преобразования алгебраических выражений и безошибочно выполнять вычислительные действия.

Впервые нелинейные уравнения появились в работах А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре, где были представлены хорошие способы их решения. Но для дальнейшего развития данной темы требовались новые подходы и идеи. Так в начале ХХ века для описания поведения нелинейных систем стали привлекаться топологические и функционально-аналитические методы и начала строиться последовательная дедуктивная теория, основанная на строгих определениях и общих конструкциях.

Прикладной характер исследований отечественных математиков П.С. Урысона и А.И. Некрасова оказал влияние на развитие теории нелинейных уравнений, на создание и становление функционального анализа.

Рассматривая основные виды систем уравнений, которые изучаются в школьном курсе математики и далее в профессиональных учебных заведениях, особый интерес представляют нелинейные системы уравнений.

Под системой нелинейных уравнений понимается система алгебраических и трансцендентных уравнений в следующем виде:

где  – действительные числа,  – нелинейные функции.

Определенной классификации видов систем нелинейных уравнений не существует, рассмотрим некоторые виды систем нелинейных уравнений.

Однородные системы уравнений

Система двух уравнений с двумя неизвестными вида:

является однородной, так как левые части уравнений  представляют собой однородные многочлены второй степени.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Решение. Первое уравнение системы обладает всеми признаками однородного уравнения. Разделим обе части первого уравнения на

Введем замену  и решим это уравнение относительно переменной

Заметим, что  поэтому .

Отсюда   или  

Выразим одну переменную через другую. Рассмотрим оба случая.

Подставим  вместо системы:

Подставим  вместо  во второе уравнение системы:

Соответственно

Ответ:

Симметрические системы уравнений

Будем рассматривать системы вида:

где  – многочлены, которые не изменяются при замене, а Такие системы называются симметрическими.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение. Разложим на множители левую часть каждого уравнения:

Разделим второе уравнение на первое. Получим:

.

Отсюда,

Подставим    вместо  в первое уравнение исходной системы.

Решим это уравнение относительно

Тогда

Ответ:

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где заданные числа, а - функция двух переменных .

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Выразим из первого уравнения системы (3) неизвестное  через неизвестное  и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

находим корни

Следовательно,

Таким образом, решениями системы (3) являются две пары чисел

Ответ:

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где заданные числа, а функция двух переменных

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Решим однородное уравнение

Рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного , получим:

В случае, когда  из второго уравнения системы (5) получаем уравнение:

корнями которого служат числа  

Находя для каждого из этих значений  соответствующее ему значение  получаем два решения системы:

В случае, когда

из второго уравнения системы (5) получаем уравнение:

,

которое корней не имеет.

Ответ:

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. Совершим над системой (6) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5, прибавим второе уравнение, умноженное на 3, и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (6).

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему (7), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

Решим однородное уравнение

Рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного , получим:

В случае, когда  из второго уравнения системы (7) получаем уравнение

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (7) получаем уравнение

корнями которого служат числа для каждого из этих значений  соответствующее ему значение  получаем два решения системы:

Ответ:

Системы из двух уравнений с тремя неизвестными

Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел  при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 6. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

Решение. У системы (8) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное  через неизвестные  и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Перепишем второе уравнение системы (9) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае

Следовательно,

Ответ:

Данная тема разносторонняя, и рассматривается в разных областях науки, в частности, используется для решения прикладных задач. Есть много различных способов решения систем нелинейных уравнений, чаще всего используют известные способы решения.

Список литературы:

1. Азаров А.И. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи: Справочное пособие для абитуриентов и школьников [Текст] / А.И. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Федосенко, А.С. Шибут. – Мн.: ТетраСистемс,1998. – 288 с.
2. Балаян Э.Н. 800 лучших олимпиадных задач по математике для подготовки к ЕГЭ: 9-11 классы [Текст] / Э.Н. Балаян – Ростов н/Д: Феникс, 2013. – 317 с.
3. Рыбников К.А. История математики: учебник [Текст] / К.А. Рыбников. – М.: Московский Государственный Университет, 1994. – 496 с.
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 класса средней школы. [Текст] / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.